數據結構與算法系列——排序(7)_堆排序 圖解排序算法(三)之堆排序

1. 工做原理（定義）

　　堆排序（Heapsort）是指利用堆這種數據結構所設計的一種排序算法。堆積是一個近似徹底二叉樹的結構，並同時知足堆積的性質：即子結點的鍵值或索引老是小於（或者大於）它的父節點。堆排序能夠說是一種利用堆的概念來排序的選擇排序。分爲兩種方法：

1. 大頂堆：每一個節點的值都大於或等於其子節點的值，在堆排序算法中用於升序排列；arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]  
2. 小頂堆：每一個節點的值都小於或等於其子節點的值，在堆排序算法中用於降序排列；arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]  

　　同時，咱們對堆中的結點按層進行編號，將這種邏輯結構映射到數組中就是下面這個樣子

　　

　　該數組從邏輯上講就是一個堆結構，咱們用簡單的公式來描述一下堆的定義就是：

2. 算法步驟

1. 建立一個最大堆 H[0……n-1]；

2. 把堆首（最大值）和堆尾互換；

3. 把堆的尺寸縮小 1，並調用 shift_down(0)，目的是把新的數組頂端數據調整到相應位置；

4. 重複步驟 2，直到堆的尺寸爲 1。

　　 建立最大堆（Build-Max-Heap）的做用是將一個數組改形成一個最大堆，，接受數組和堆大小兩個參數，Build-Max-Heap 將自下而上的調用 Max-Heapify 來改造數組，創建最大堆【注意從非葉子節點開始】。由於 Max-Heapify 可以保證下標 i 的結點以後結點都知足最大堆的性質，因此自下而上的調用 Max-Heapify 可以在改造過程當中保持這一性質。

　　

　　堆排序（Heap-Sort）是堆排序的接口算法，Heap-Sort先調用Build-Max-Heap將數組改造爲最大堆，而後將堆頂和堆底元素交換，以後將底部上升，最後從新調用Max-Heapify保持最大堆性質【由於 Max-Heapify 可以保證下標 i 的結點以後結點都知足最大堆的性質，因此自下而上的調用 Max-Heapify 可以在改造過程當中保持這一性質。】。因爲堆頂元素必然是堆中最大的元素，因此一次操做以後，堆中存在的最大元素被分離出堆，重複n-1次以後，數組排列完畢。整個流程以下：

　　

3. 動畫演示

4. 性能分析

1. 時間複雜度

　　堆排序的時間等於建堆和進行堆調整的時間。

　　構建最大堆大概需進行n/2 * 2 = n次比較和n/2次交換，故時間複雜度爲O(n)。

　　堆調整的時間爲(n - 1)*O(log2(n))。

　　堆排序的時間複雜度爲O(n*logn)。

　　在最優、最壞和平均狀況下，其時間複雜度爲 O(n*logn)。

2. 空間複雜度

　　堆排序爲就地排序，所以空間複雜度爲O(1)。

3. 算法穩定性 

　　堆排序是不穩定的算法，在構建堆過程當中元素的順序可能會發生變化。

4. 初始順序狀態

1. 比較次數：
2. 移動次數：
3. 複雜度：    
4. 排序趟數：

5. 歸位

　　能歸位，每一趟排序有一個元素歸位。

6. 優勢

6. 具體代碼

// 堆排序（HeapSort）：移除位在第一個數據的根節點，並作最大堆調整的遞歸運算
public int[] heapSort(int[] sourceArray) { // 對 arr 進行拷貝，不改變參數內容
    int[] arr = Arrays.copyOf(sourceArray, sourceArray.length); int len = arr.length; buildMaxHeap(arr, len); 　　 // 首尾元素交換，長度減一，尾部元素最大 for (int i = len - 1; i > 0; i--) { swap(arr, 0, i); len--; heapify(arr, 0, len); } return arr; }
 // 建立最大堆（Build Max Heap）：將堆中的全部數據從新排序 private void buildMaxHeap(int[] arr, int len) {
　　 // 非葉子節點開始 for (int i = (int) Math.floor(len / 2); i >= 0; i--) { heapify(arr, i, len); } } 
// 最大堆調整（Max Heapify）：將堆的末端子節點做調整，使得子節點永遠小於父節點 private void heapify(int[] arr, int i, int len) { int left = 2 * i + 1; int right = 2 * i + 2; int largest = i; if (left < len && arr[left] > arr[largest]) { largest = left;
    }
    if (right < len && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }
    if (largest != i) {
        swap(arr, i, largest);
        heapify(arr, largest, len);
    }
}

private void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int temp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = temp;
}

7. 參考網址

1. 數據結構基礎學習筆記目錄
2. 常見排序算法 - 堆排序 (Heap Sort)
3. 圖解排序算法(三)之堆排序
4. 排序算法系列之堆排序
5. https://visualgo.net/en/sorting
6. https://www.runoob.com/w3cnote/heap-sort.html
7. https://github.com/hustcc/JS-Sorting-Algorithm