矩陣特徵值和特徵向量

　　設 A 是n階方陣，若是存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，

　　則稱 m 是A的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。

　　非零n維列向量x稱爲矩陣A的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

Ax=mx，等價於求m，使得 (mE-A)x=0，其中E是單位矩陣，0爲零矩陣。

|mE-A|=0，求得的m值即爲A的特徵值。|mE-A| 是一個n次 多項式，它的所有根就是n階方陣A的所有特徵值，這些根有可能相重複，也有多是 複數。

若是n階矩陣A的所有特徵值爲m1 m2 ... mn，則 |A|=m1*m2*...*mn

同時矩陣A的跡是特徵值之和：　　　　　　　　   tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1]

若是n階矩陣A知足矩陣多項式 方程g(A)=0, 則矩陣A的特徵值m必定知足條件g(m)=0;特徵值m能夠經過 解方程g(m)=0求得。

還可用mathematica求得。

 

　　特徵向量的引入是爲了選取一組很好的基。空間中由於有了矩陣，纔有了座標的優劣。對角化的過程，實質上就是找特徵向量的過程。若是一個矩陣在複數域不能對角化，咱們還有辦法把它化成比較優美的形式——Jordan標準型。高等代數理論已經證實：一個方陣在複數域必定能夠化成Jordan標準型。這一點有興趣的同窗能夠看一下高等代數後或者矩陣論。

　　通過上面的分析相信你已經能夠得出以下結論了：座標有優劣，因而咱們選取特徵向量做爲基底，那麼一個線性變換最核心的部分就被揭露出來——當矩陣表示線性變換時，特徵值就是變換的本質！