C語言程序設計100例之（25）：肯定進制

例25    肯定進制

問題描述

6*9 = 42 對於十進制來講是錯誤的，可是對於13進制來講是正確的。即

6（13）* 9（13）= 42（13），由於，在十三進制中，42 = 4 * 13 + 2 = 54（10）。

編寫一個程序，輸入三個整數p、q和r，而後肯定一個進制B（2<=B<=16），使得在該進制下 p * q = r。若是 B有不少選擇，輸出最小的一個。例如，p = 11，q = 11，r = 121。則有 11（3） * 11（3）= 121（3），還有 11（10）* 11（10）= 121（10）。這種狀況下，輸出3。若是沒有合適的進制，則輸出0。

輸入格式

三個整數p、q和r。

輸出格式

所肯定的進制B。若是沒有合適的進制，則輸出0。

輸入樣例

6 9 42

輸出樣例

13

       （1）編程思路。

        選擇一個進制B，按照該進制將被乘數p、乘數q、乘積r分別轉換成十進制數pb、qb和rb。而後判斷等式pb*qb==rb是否成立。使得等式成立的最小B就是所求的結果。

設n位B進制數num=（a_n-1a_n-2……a₁a₀），將其按權值展開後求和就可獲得對應的十進制數ret。

         由上式能夠看出，B進制數num轉換爲十進制數ret能夠寫成一個循環。方法是：另ret初始值爲0，從高位到低位循環分離出num的各位數字digit，執行        ret=ret*b+digit，循環結束就可得B進制數num對應的十進制數ret。

        編寫函數int b2ten(int num,int b)完成b進制數num轉換爲十進制數。

        因爲轉換時須要從高位向低位分離數字，而用循環

          while (num!=0)

         {

                   digit = num%10;

                   num = num/10;

         }

        能方便地完成從低位向高位分離出num的各位數字。所以，可採用一個數組digit[]來保存從低位向高位分離出的各位數字，同時num中數字的位數保存到變量cnt中。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int b2ten(int num,int b);

int main()

{

         int b,p,r,q;

         int pb,qb,rb;    // 用來存儲轉換爲十進制後的結果

         scanf("%d%d%d",&p,&q,&r);

         for(b=2;b<=16;b++)

         {

                   pb=b2ten(p,b);

                   qb=b2ten(q,b);

                   rb=b2ten(r,b);

                   if(pb==-1 || qb==-1 || rb==-1) continue;

                   if (pb*qb==rb)

                   {

                            printf("%d\n",b);

                            break;

                   }

         }

         if(b==17)

              printf("0\n");

         return 0;

}

int b2ten(int num,int b)

{

         int ret=0,digit[10];

         int cnt=0;

         while (num!=0)

         {

                   digit[cnt++]=num%10;

                   num=num/10;

         }

         cnt--;

          while (cnt>=0)

         {

                   if (digit[cnt]>=b) return -1;  // 數字超過B進制的數碼範圍

                   ret=ret*b+digit[cnt];

                   cnt--;

         }

         return ret;

}

習題25

25-1  Faulty Odometer

        本題選自北大POJ題庫（http://poj.org/problem?id=2719）。

Description

You are given a car odometer which displays the miles traveled as an integer. The odometer has a defect, however: it proceeds from the digit 3 to the digit 5, always skipping over the digit 4. This defect shows up in all positions (the one's, the ten's, the hundred's, etc.). For example, if the odometer displays 15339 and the car travels one mile, odometer reading changes to 15350 (instead of 15340).

Input

Each line of input contains a positive integer in the range 1..999999999 which represents an odometer reading. (Leading zeros will not appear in the input.) The end of input is indicated by a line containing a single 0. You may assume that no odometer reading will contain the digit 4.

Output

Each line of input will produce exactly one line of output, which will contain: the odometer reading from the input, a colon, one blank space, and the actual number of miles traveled by the car.

Sample Input

13

15

2003

2005

239

250

1399

1500

999999

0

Sample Output

13: 12

15: 13

2003: 1461

2005: 1462

239: 197

250: 198

1399: 1052

1500: 1053

999999: 531440

        （1）編程思路。

        本題的題意是：有一個里程錶，錶盤上的數字4壞了，所以全部的數字4沒法顯示，3以後顯示5，39以後顯示50，…。先給出里程錶上顯示的數字，求實際的里程應爲多少？

        因爲里程錶上無數字4，所以能夠將里程錶上的數當作是一個9進制數，有0,1,2,3,5,6,7,8,9共9個數碼，規則逢九進一。所以本題實質是將一個9進制數轉換爲一個十進制數。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

         char odometer[10];

         int actual,i,d;

         while(scanf("%s",odometer) && odometer[0]!='0')

         {

                   actual=0;

                   for (i=0;odometer[i]!='\0';i++)

                   {

                            d=odometer[i]-'0';

                            if (d>3) d--;

                            actual=actual*9+d;

                   }

                   printf("%s: %d\n",odometer,actual);

         }

         return 0;

}

25-2  Skew Binary

        本題選自北大POJ題庫（http://poj.org/problem?id=1565）。

Description

When a number is expressed in decimal, the kth digit represents a multiple of 10k. (Digits are numbered from right to left, where the least significant digit is number 0.) For example,

81307(10) = 8 * 10^4 + 1 * 10 ^3 + 3 * 10^2 + 0 * 10^1 + 7 * 10^0

= 80000 + 1000 + 300 + 0 + 7

= 81307.

When a number is expressed in binary, the kth digit represents a multiple of 2^k . For example,

10011(2) = 1 * 2^4 + 0 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0

= 16 + 0 + 0 + 2 + 1

= 19.

In skew binary, the kth digit represents a multiple of 2^(k+1)-1. The only possible digits are 0 and 1, except that the least-significant nonzero digit can be a 2. For example,

10120(skew) = 1 * (2^5-1) + 0 * (2^4-1) + 1 * (2^3-1) + 2 * (2^2-1) + 0 * (2^1-1)

= 31 + 0 + 7 + 6 + 0

= 44.

The first 10 numbers in skew binary are 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 100, 101, and 102. (Skew binary is useful in some applications because it is possible to add 1 with at most one carry. However, this has nothing to do with the current problem.)

Input

The input contains one or more lines, each of which contains an integer n. If n = 0 it signals the end of the input, and otherwise n is a nonnegative integer in skew binary.

Output

For each number, output the decimal equivalent. The decimal value of n will be at most 2^31-1 = 2147483647.

Sample Input

10120

200000000000000000000000000000

10

1000000000000000000000000000000

11

100

11111000001110000101101102000

0

Sample Output

44

2147483646

3

2147483647

4

7

1041110737

        （1）編程思路。

        按題目描述中給出的展開式進行展開計算便可。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <string.h>

int main()

{

         char bin[33];

         int i,value,p;

         while (scanf("%s",bin) && strcmp(bin,"0")!=0)

         {

                   p=1; value=0;

                   for (i=strlen(bin)-1;i>=0;i--)

                   {

                            p=p*2;

                            value+=(bin[i]-'0')*(p-1);

                   }

                   printf("%d\n",value);

         }

         return 0;

}

25-3  數列

        本題選自洛谷題庫 （https://www.luogu.org/problem/P1062）。

題目描述

給定一個正整數k(3≤k≤15)，把全部k的方冪及全部有限個互不相等的k的方冪之和構成一個遞增的序列，例如，當k=3，時，這個序列是：1,3,4,9,10,12,13,…

（該序列實際上就是：3^0,3^1,3^0+3^1,3^2,3^0+3^2,3^1+3^2,3^0+3^1+3^2,…）

請你求出這個序列的第N項的值（用10進制數表示）。

例如，對於k=3，N=100，正確答案應該是981。

輸入格式

2個正整數，用一個空格隔開：

k N（k、N的含義與上述的問題描述一致，且3≤k≤15,10≤N≤1000）。

輸出格式

1個正整數。

輸入樣例

3 100

輸出樣例

981

        （1）編程思路。

        先分析樣例

        k=3時，數列爲：1,3,4,9,10,12,13，…

        轉換成三進制就是：1,10,11,100,101,110,111，…

        看起來像是二進制，轉化成十進制就是：1,2,3,4,5,6,7，…

        顯然，第n項就是n。

        編寫一個程序，把上面的過程逆回去，即先把n轉換成二進制，再把它當成K進制，從新轉換爲十進制，就能夠獲得結果。

        （2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int a[11]={0},k,n,cnt,i;

    scanf("%d%d",&k,&n);

    cnt=0;

    while (n!=0)

    {

        a[cnt++]=n%2;

        n/=2;

    }

    long long s=0;

    for (i=cnt-1;i>=0;i--)

        s=s*k+a[i];

    printf("%lld\n",s);

    return 0;

}

        （3）源程序2。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int k,n;

    scanf("%d%d",&k,&n);

    long long s=0,p=1;

    while (n!=0)

    {

        s=s+(n%2)*p;

        p*=k;

        n/=2;

    }

    printf("%lld\n",s);

    return 0;

}