C語言程序設計100例之（1）：雞兔同籠

例1   雞兔同籠

【問題描述】

一個籠子裏面關了雞和兔子（雞有2 只腳，兔子有4 只腳，沒有例外）。已知籠子裏面腳的總數a，問籠子裏面至少有多少隻動物，至多有多少隻動物？

【輸入數據】

第1 行是測試數據的組數n，後面跟着n 行輸入。每組測試數據佔1 行，包括一個正整數a (a < 32768)。

【輸出要求】

n 行，每行輸出對應一個輸入。輸出是兩個正整數，第一個是最少的動物數，第二個是最多的動物數，兩個正整數用空格分開。若是沒有知足要求的狀況出現，則輸出2 個0。

【輸入樣例】

2

3

20

【輸出樣例】

0  0

5  10

      （1）編程思路。

      因爲雞有2 只腳，兔子有4 只腳，所以籠子裏面腳的總數必定是個偶數。若是有奇數只腳，則輸入不正確。即沒有知足要求的狀況出現，則輸出2 個0。

當a是偶數時，若要動物數目最少，則應使動物儘可能有4 只腳，而要動物數目最多，則應使動物儘可能有2 只腳。所以本題無需用循環窮舉，只需按上面的分析找到相應的計算式子便可。

若是總腳數a 是4 的倍數，則動物最少數目爲a / 4（所有爲兔子），最多爲a / 2（所有爲雞）。

若是總腳數a 不是4 的倍數，則動物最少數目爲a/4+1（除1只雞外，其他所有爲兔子），最多爲a / 2（所有爲雞）。

所以，編寫一個簡單的選擇結構實現相應的判斷和計算輸出就能夠了。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

   int n,i,a;

   scanf("%d",&n);

   while (n--)

   {

        scanf("%d",&a);

              if (a%2!=0)

          printf("0 0\n");

        else if (a % 4!=0)

          printf("%d %d\n",a/4+1,a/2);

        else

          printf("%d %d\n",a/4,a/2);

   }

   return 0;

}

 

習題1

1-1  P1348 Couple number

      本題選自洛谷題庫 （https://www.luogu.org/problem/P1348）

【題目描述】

任何一個整數N都能表示成另外兩個整數a和b的平方差嗎？若是能，那麼這個數N就叫作Couple number。你的工做就是判斷一個數N是否是Couple number。

【輸入格式】

僅一行，兩個長整型範圍內的整數n1和n2，之間用1個空格隔開。

【輸出格式】

輸出在n1到n2範圍內有多少個Couple number。

注意：包括n1和n2兩個數，且n1<n2，n2 - n1 <= 10 000 000。

【輸入樣例】

1  10

【輸出樣例】

7

       （1）編程思路。

          本題的關鍵問題是如何判斷一個數N是否是Couple number。

           設N=a²-b²，則N=(a+b)(a-b) 

        因爲a，b均爲整數，則a+b與a-b的奇偶性必定相同。

        若是a+b是奇數，奇數乘奇數必定是奇數，所以N必定是奇數。

        若是a+b是偶數，偶數乘偶數必定是4的倍數，所以N也必定是4的倍數。

        由此可知，Couple number要麼是奇數，要麼是4的倍數。

        反過來，一個奇數或一個4的倍數的數是否必定是Couple number呢？咱們能夠很簡單地構造出a和b來。

        若N是奇數，可設N=2k-1 （k是整數）。可取a=k,b=k-1，則N= a²-b²=(a+b)(a-b)=2k-1。

         若N是4的倍數，可設N=4k （k是整數）。可取a=k+1,b=k-1，則N= a²-b²=(a+b)(a-b)=4k。

         若N是偶數但不是4的倍數，可設N=2k （k爲奇數），則N不管如何分解因數，必定只能分解爲一個偶數和一個奇數相乘，這樣(a+b)與(a-b)中必定一個爲奇數，另外一個爲2的奇數倍。可是(a+b)和(a-b)同奇偶性，所以N沒法表示成兩個整數a和b的平方差。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int n1,n2,i,cnt=0;

       scanf("%d%d",&n1,&n2);

    for (i=n1;i<=n2;i++)

              if (i%2!=0 || i%4==0)

                     cnt++;

       printf("%d\n",cnt);

       return 0;

}

 

1-2  整數解

       本題選自HDU  OJ （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2092）

Problem Description

有二個整數，它們加起來等於某個整數，乘起來又等於另外一個整數，它們究竟是真仍是假，也就是這種整數到底存不存在，實在有點吃不許，你能快速回答嗎？看來只能經過編程。

例如：

x + y = 9，x * y = 15 ? 找不到這樣的整數x和y

1+4=5，1*4=4，因此，加起來等於5，乘起來等於4的二個整數爲1和4

7+(-8)=-1，7*（-8）=-56，因此，加起來等於-1，乘起來等於-56的二個整數爲7和-8

Input

輸入數據爲成對出現的整數n，m（-10000<n,m<10000），它們分別表示整數的和與積，若是二者都爲0，則輸入結束。

Output

只須要對於每一個n和m，輸出「Yes」或者「No」，明確有仍是沒有這種整數就好了。

Sample Input

9 15

5 4

1 -56

0 0

Sample Output

No

Yes

Yes

        （1）編程思路。

          設 x+y=n  x*y=m，可得  x*(n-x)=m   x²-nx+m=0

         求解這個以x爲未知數的一元二次方程。

         令 dlt=n²-4m，

         若dlt<0，則方程無實根，x和y更不可能爲整數，所以，輸出「No」。

        若dlt==0，可求得x=y=n/2，且x和y均爲整數，所以，輸出「Yes」。

        若dlt>0，根據一元二次方程求根公式求得方程兩個實根x1和x2（這兩個實根不必定是整數），且取整數分別賦給x和y。若知足x+y==n且 x*y==m，則輸出「Yes」，不然輸出「No」。

    （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

    int n,m,dlt,x,y;

    while (1)

    {

        scanf("%d%d",&n,&m);

        if (n==0 && m==0) break;

        dlt=n*n-4*m;

        if (dlt<0)

            printf("No\n");

        else if (dlt==0)

            printf("Yes\n");

        else

        {

            x=(n+(int)sqrt(1.0*dlt))/2;

            y=(n-(int)sqrt(1.0*dlt))/2;

            if (x+y==n && x*y==m)

                printf("Yes\n");

            else

                printf("No\n");

        }

    }

    return 0;

}

 

1-3  Distance on Chessboard

        本題選自北大POJ  （http://poj.org/problem?id=1657）

Description

國際象棋的棋盤是黑白相間的8 * 8的方格，棋子放在格子中間。以下圖所示：

 

王、後、車、象的走子規則以下：

王：橫、直、斜均可以走，但每步限走一格。

後：橫、直、斜均可以走，每步格數不受限制。

車：橫、豎都可以走，不能斜走，格數不限。

象：只能斜走，格數不限。

寫一個程序，給定起始位置和目標位置，計算王、後、車、象從起始位置走到目標位置所需的最少步數。

Input

第一行是測試數據的組數t（0 <= t <= 20）。如下每行是一組測試數據，每組包括棋盤上的兩個位置，第一個是起始位置，第二個是目標位置。位置用"字母-數字"的形式表示，字母從"a"到"h"，數字從"1"到"8"。

Output

對輸入的每組測試數據，輸出王、後、車、象所需的最少步數。若是沒法到達,就輸出"Inf".

Sample Input

2

a1 c3

f5 f8

Sample Output

2 1 2 1

3 1 1 Inf

        （1）編程思路。

        本題給定一個棋盤上的起始位置和終止位置，分別判斷王、後、車、象從起始位置到達終止位置須要的步數。

        首先，王、後、車、象彼此獨立，分別考慮就能夠了。分析王、後、車、象的行走規則特色，從而推出它們從起點到終點的步數。

        假設起始位置與終止位置在水平方向上的距離是 x，它們在豎直方向上的距離是y。

        根據王的行走規則，它能夠橫、直、斜走，每步限走一格，因此須要的步數是min(x,y)+abs(x-y)。即x，y 中較小的一個加上x 與y 之差的絕對值。

        根據後行走的規則，它能夠橫、直、斜走，每步格數不受限制，因此須要的步數是1（x 等於y 或者 x 等於0 或者 y 等於0）或者2(x 不等於y)。

        根據車行走的規則，它能夠橫、豎走，不能斜走，格數不限，須要步數爲1（x 或者y 等於0）或者2(x 和y 都不等於0)。

        根據象行走得規則，它能夠斜走，格數不限。棋盤上的格點能夠分爲兩類，第一類是它的橫座標和縱座標之差爲奇數，第二類是橫縱座標之差爲偶數。對於只能斜走的象，它每走一步，由於橫縱座標增長或減少的絕對值相等，因此橫座標和縱座標之差的奇偶性不管如何行走都保持不變。所以，上述的第一類點和第二類點不能互相到達。若是判斷出起始點和終止點分別屬於兩類點，就能夠得出它們之間須要無數步的結論。若是它們屬於同一類點，象從起始點走到終止點須要1（x 的絕對值等於y 的絕對值）或者2（x 的絕對值不等於y 的絕對值）。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

    int n;

    char  begin[5], end[5];   // 用 begin 和 end 分別存儲棋子的起止位置

    int x, y;     

    scanf("%d", & n);

    while( n--)

       {

        scanf("%s %s", begin, end);

        x = abs(begin[0] - end[0]);

        y = abs(begin[1] - end[1]);

        if(x == 0 && y == 0)

            printf("0 0 0 0\n");        // 起止位置相同，全部棋子都走0步

        else{

            if(x < y)printf("%d",y);     //王的步數

            else printf("%d",x);

            if(x == y || x == 0 || y == 0) printf(" 1");    //後的步數

            else printf("2");

            if(x == 0 || y == 0) printf(" 1");      //車的步數

            else printf(" 2");

            if(abs(x-y) % 2 != 0) printf(" Inf\n");     //象的步數 

            else if(x == y) printf(" 1\n");

            else printf(" 2\n");

        }

    }

      return 0;

}