C語言程序設計100例之（3）： Cantor表

例3    Cantor表

題目描述

現代數學的著名證實之一是Georg Cantor證實了有理數是可枚舉的。他是用下面這一張表來證實這一命題的：

1/1  1/2  1/3  1/4  ……

2/1  2/2  2/3  ……

3/1  3/2  ……

4/1  ……

……

現以z字型方法給上表的每項編號。方法爲：第一項是1/1，而後是1/二、2/一、3/一、2/二、1/三、1/四、2/3……。

輸入格式

整數N（1≤N≤10000000）

輸出格式

表中的第N項

輸入樣例

7

輸出樣例

1/4

         （1）編程思路1。

        能夠把上面的數表右轉45度，成一金字塔形狀，以下所示：

1/1

2/1  1/2   

3/1  2/2  1/3

4/1  3/2  2/3  1/4

…… …… …… ……

        該金字塔第1行有1個數，第2行有2個數，…，第i行有i個數。而且第i行上的i個分數的分子從i~1，分母從1~i，即第1個分數爲i/1，最後一個分數爲1/i。

        爲輸出數表中的第N項，先需計算這一項在第幾行。設第N項在x行，因爲前x-1行共有1+2+3+…+（x-1）項，前x行有1+2+…+x項，所以有：

                    

        能夠用一個循環計算第n項所在的行數，以下：

                  for (i=1； i*(i+1)/2<n； i++) ；

        循環退出後，i*(i+1)/2恰好大於或等於n，所以，i就是第n項所在的行。

        第n項在第i行中屬於第幾項又能夠計算出來，公式爲：

                   即n減去前i-1行中的所有項數。

        因爲是以z字型方法給數表的每項編號，所以當行號爲奇數時，編號從左往右進行；當行號爲偶數時，編號從右往左進行。

        這樣，當i爲奇數時，第i行的第k項爲（i+1-k）/（k）；當i爲偶數時，第i行的第k項爲（k）/（i+1-k）。

        （2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int i,k,n;

    scanf("%d",&n);

    for (i=1; i*(i+1)/2<n; i++) ;

    k=n-(i*(i-1)/2);

    if (i%2!=0)

       printf("%d/%d\n",i+1-k,k);

    else

       printf("%d/%d\n",k,i+1-k);

    return 0;

}

        （3）編程思路2。

        經過循環的方式直接模擬求出第N個數應該位於第row行第s列。

        （4）源程序2。

#include <stdio.h>

int main()

{

         int n,s,row;

         scanf("%d",&n);

         row=1;

         s=1;

         while (s<n)

         {

                   row++;

                   s+=row;

         }

         s=n-(s-row);

         if (row%2==1)

                   printf("%d/%d\n",(row-s)+1,s);

         else

                   printf("%d/%d\n",s,(row-s)+1);

         return 0;

}

習題3

3-1  金幣

        本題選自洛谷題庫 （https://www.luogu.org/problem/P2669）

題目描述

國王將金幣做爲工資，發放給忠誠的騎士。第一天，騎士收到一枚金幣；以後兩天（次日和第三天），天天收到兩枚金幣；以後三天（第4、5、六天），天天收到三枚金幣；以後四天（第7、8、9、十天），天天收到四枚金幣……；這種工資發放模式會一直這樣延續下去：當連續N天天天收到N枚金幣後，騎士會在以後的連續N+1天裏，天天收到N+1枚金幣。

請計算在前K天裏，騎士一共得到了多少金幣。

輸入格式

一個正整數K，表示發放金幣的天數。

輸出格式

一個正整數，即騎士收到的金幣數。

輸入樣例#1

6

輸出樣例#1

14

輸入樣例#2

1000

輸出樣例#2

29820

說明/提示

【輸入輸出樣例 1 說明】

騎士第一天收到一枚金幣；次日和第三天，天天收到兩枚金幣；第4、5、六天，天天收到三枚金幣。所以一共收到 1+2+2+3+3+3=14 枚金幣。

            （1）編程思路1。

        爲計算在前N天裏，騎士一共得到了多少金幣。須要肯定第N天發幾枚金幣。設第N天發x枚金幣，因爲發x-1枚金幣可發1+2+3+…+（x-1）天，發x枚金幣可發1+2+…+x天，所以有：   

                 

        能夠用一個循環計算第n天發的金幣數，以下：

               for (i=1； i*(i+1)/2<n； i++) ；

        循環退出後，i*(i+1)/2恰好大於或等於n，所以，i就是第n天發的金幣數。1~i-1枚金幣必定發滿了相應的天數，即天天1枚金幣發了1天，天天2枚金幣發了2天，…，天天i-1枚金幣發了i-1天，先用循環累積天天發1~i-1枚金幣共發了多少，再加上天天發i枚金幣發的數目便可獲得答案。

          （2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

         int n,m,k,s,i;

         scanf("%d",&k);

         for (n=1; n*(n+1)/2<k; n++);

         n--;

         m=(1+n)*n/2;

         for (s=0,i=1;i<=n;i++)

                   s+=i*i;

         if (k-m>0)

                   s+=(k-m)*(n+1);

         printf("%d\n",s);

         return 0;

}

           （3）編程思路2。

            直接模擬發金幣過程。用一個二重循環完成，外循環控制發的天數，循環體中用內循環控制k枚金幣連發k天。

            （4）源程序2。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int n,k=1,i=1,j,sum=0; 

    scanf("%d",&n);  

    while(i<=n)           // 一直循環下去，直到

    { 

       for(j=1;j<=k;j++)    // 連給k天 

       { 

          sum=sum+k;    // 加上今天得到的錢   

          i++;           // 總天數增長  

          if(i>n) 

          { 

             break; 

          } 

       } 

       k++;               // 連給天數增長 

 } 

        printf("%d\n",sum);

       return 0;

}

 

3-2  鹽水的故事

Problem Description

掛鹽水的時候，若是滴起來有規律，先是滴一滴，停一下；而後滴二滴，停一下；再滴三滴，停一下...，如今有一個問題：這瓶鹽水一共有VUL毫升，每一滴是D毫升，每一滴的速度是一秒（假設最後一滴不到D毫升，則花費的時間也算一秒），停一下的時間也是一秒這瓶水何時能掛完呢？

Input

輸入數據包含多個測試實例，每一個實例佔一行，由VUL和D組成，其中 0<D<VUL<5000。

Output

對於每組測試數據，請輸出掛完鹽水須要的時間，每一個實例的輸出佔一行。

Sample Input

10 1

Sample Output

13

      （1）編程思路。

        先計算vul毫升鹽水須要滴多少滴滴玩。顯然，滴數N=(int)(vul/d); ，若最後一滴不到d毫升，花費的時間也算一秒，所以要注意滴數達到精度的要求，可進行以下校訂：

if (vul-N*d>0.00001)  N++;

        爲計算掛完鹽水須要的時間，須要肯定中間停頓的次數。設滴玩N滴鹽水須要滴x次，因爲前x-1次可滴下1+2+3+…+（x-1）滴鹽水，前x次可滴下1+2+…+x滴鹽水，所以有：

                

        能夠用一個循環計算滴玩N滴鹽水須要的次數，以下：

             for (i=1； i*(i+1)/2<n； i++) ；

        循環退出後，i*(i+1)/2恰好大於或等於n，所以，i就是滴玩N滴鹽水須要的次數。每兩次之間會停頓，所以停頓時間爲i-1秒，加上N滴用時N秒即得所求答案。

         （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

           double vul,d;

            int s,n;

    while (scanf("%lf%lf",&vul,&d)!=EOF)

    {

        s=(int)(vul/d);

        if (vul-s*d>0.00001) s++;

        for (n=1; n*(n+1)/2<s; n++);

        n--;

        printf("%d\n",s+n);

    }

           return 0;

}

3-3  Peter的煙

題目描述

Peter 有n根菸，他每吸完一根菸就把菸蒂保存起來，k(k>1)個菸蒂能夠換一個新的煙，那麼 Peter 最終能吸到多少根菸呢？

輸入格式

測試數據包含多組，每組測試數據一行包括兩個整數n,k(1<n,k≤10⁸ )。

輸出格式

對於每組測試數據，輸出一行包括一個整數表示最終煙的根數。

輸入樣例

4 3

10 3

100 5

輸出樣例

5

14

124

         （1）編程思路。

         設變量sum表明Peter可抽菸的總根數，n表明菸蒂數，由於Peter有n根菸，所以初始時，sum=n（可抽n根菸），菸蒂數爲n（n根菸產生n個菸蒂）。

以後不斷用菸蒂換煙抽，因爲k個菸蒂換一根菸，所以不斷執行

            sum =sum+ n/k;  （n個菸蒂換抽n/k根菸）

             n = n/k + n%k;   （n/k根菸產生n/k個菸蒂，加上前面換煙後多餘的不足換1根菸的n%k個菸蒂爲新的菸蒂數）

        重複這個過程直到剩下的菸蒂數不足以換根菸。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int n,k,sum;

    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)

    {

        sum = n;

        while(n >= k)

        {

            sum += n/k;

            n = n/k + n%k;

                   }

        printf("%d\n",sum);

    }

    return 0;

}