C語言程序設計100例之（5）：分解質因數

例5    分解質因數

題目描述

將一個正整數分解質因數。例如：輸入90，輸出 90=2*3*3*5。

輸入

輸入數據包含多行，每行是一個正整數n (1<n <100000) 。

輸出

對於每一個整數n將其分解質因數。

輸入樣例

90

256

199

輸出樣例

90=2*3*3*5

256=2*2*2*2*2*2*2*2

199=199

        （1）編程思路。

對整數n進行分解質因數，應讓變量i等於最小的質數2，而後按下述步驟完成：

1）若是i恰等於n，則說明分解質因數的過程已經結束，輸出便可。

2）若是n<>i，但n能被i整除，則應輸出i的值，並用n除以i的商，做爲新的正整數n，轉第1）步。

3）若是n不能被i整除，則用i+1做爲新的i值，轉第1）步。

所以，程序主體是一個循環，在循環中根據n可否整除i，進行兩種不一樣處理，描述爲：

        i=2;

       while(i<n)

       {

            if(n%i==0)

            {

                       printf("%d*",i)     // i是n的因數，輸出i

                       n=n/i;            // 對除以因數後的商在進行分解

            }

           else

                  i++;             // 找下一個因數

      }

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

   int n,i;

   while (scanf("%d",&n)!=EOF)

   {

        printf("%d=",n);

        i=2;

        while(i<n)

        {

            if(n%i==0)

            {

                printf("%d*",i);

                n=n/i;

           }

           else

                i++;

        }

        printf("%d\n",n);

   }

   return 0;

}

習題5

5-1  徹底數

題目描述

徹底數（Perfect number）又稱完美數或完備數，是一些特殊的天然數。它全部的真因子（即除了自身之外的約數）的和，剛好等於它自己。

例如：第一個徹底數是6，它有約數一、二、三、6，除去它自己6外，其他3個數相加，1+2+3=6。第二個徹底數是28，它有約數一、二、四、七、1四、28，除去它自己28外，其他5個數相加，1+2+4+7+14=28。

編寫一個程序，求兩個正整數之間徹底數的個數。

輸入

輸入數據包含多行，第一行是一個正整數n，表示測試實例的個數，而後就是n個測試實例，每一個實例佔一行，由兩個正整數num1和num2組成,(1<num1,num2<10000) 。

輸出

對於每組測試數據，請輸出num1和num2之間（包括num1和num2）存在的徹底數個數。

輸入樣例

2

2 5

5 7

輸出樣例

0

1

         （1）編程思路。

        要求num1和num2之間的全部徹底數，須要對num1~num2範圍內的每個數n，計算n的全部真因子之和s，若n==s，則n就是一個徹底數。框架描述爲：

         for(n=num1;n<=num2;n++)

         {

                   計算n的真因子之和s ；

                   if(s==n)

                            是徹底數，計數；

         }

        爲計算n的全部真因子之和s，可令s初值爲1（1是n的真因子），而後用2~n-1範圍內的每一個i去除n，若是n能被i整除（即n%i==0），則i是n的真因子，s=s+i。

        實際上，i（i>1）是n的真因子，則n/i也是n的真因子。所以，能夠將i的範圍縮小爲2~sqrt(n)。這樣，計算n的真因子之和s的操做描述爲：

                   s=1;                                                // s爲n的真因子之和

                   for(i=2;i<=sqrt(n);i++)                // 求解真因子之和

                            if(n%i==0)

                                     if (i!=n/i)  s=s+i+n/i;

                else  s=s+i;

        所以，程序能夠寫成一個嵌套的二重循環。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

         int t,num1,num2,i,n,s,cnt;

         scanf("%d",&t);

        while (t--)

        {

            scanf("%d%d",&num1,&num2);

            cnt=0;

            if (num1>num2) { n=num1; num1=num2; num2=n;}

             for(n=num1;n<=num2;n++)

             {

                       s=1;                                                // s爲n的真因子之和

                       for(i=2;i<=sqrt(n);i++)                // 求解真因子之和

                               if(n%i==0)

                                {

                                         if (i!=n/i)  s=s+i+n/i;

                                         else  s=s+i;

                                 }

                       if(s==n)  cnt++;

            }

            printf("%d\n",cnt);

      }

      return 0;

}

5-2  親和數

題目描述

遙遠的古代，人們發現某些天然數之間有特殊的關係：若是兩個數a和b（a不等於b），a的全部真因數之和等於b，b的全部真因數之和等於a，則稱a、b是一對親和數。

例如220和284，1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6368。

給定一個正整數 S（6≤S≤18000） ，找出a，b兩數中至少有一個不小於S的第一對「親和數」 。

輸入格式

一行一個整數S。

輸出格式

一行兩個整數A 和 B（用空格隔開）。A 表示第一個不小於 S 的有「親和數」的整數，B是A的「親和數」。

輸入樣例 #1

206

輸出樣例 #1

220  284

輸入樣例 #2

260

輸出樣例 #2

284  220

        （1）編程思路。

        程序對輸入整數begin開始的天然數進行窮舉，算法描述爲：

         for(n=begin；；n++)

         {

                   計算n的真因子之和 s ；

                   if （s==n） continue；

                   計算s的真因子之和 m ；

                   if(m==n)                        // 若是兩數相等，是解

                   {

                          輸出解的狀況；

                   }

         }

        計算天然數的真因子之和的方法，能夠參見前面的習題5-1「徹底數」。

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

         int begin,i,n,s,m,k;

         scanf("%d",&begin);

         for(n=begin;;n++)

         {

                   s=1;                                                   // s爲n的真因子之和

                   k=1;                                                  // k爲n的真因子個數

                   for(i=2;i<=(int)sqrt(1.0*n);i++)          // 求解真因子之和

                            if(n%i==0)

                            {

                                     s=s+i+n/i;

                                     k+=2;

                            }

                  i--;

                  if (i*i==n) s-=i;

                  if(k==1 || s==n)                                    // 若n爲質數或完數，進行下次循環

                            continue;

                   m=1;                                                   // m爲s的真因子之和

                   for(i=2;i<=(int)sqrt(1.0*s);i++)

                            if(s%i==0)

                                     m+=i+s/i;                       // 計算s的真因子之和

                   i--;

                   if (i*i==s)  m-=i;

                   if(m==n)                                      // 若是兩數相等，輸出親和數

                   {

                            printf("%d %d\n",n,s);

                            break;

                   }

       }

       return 0;

}

5-3  The number of divisors about Humble Numbers

Problem Description

A number whose only prime factors are 2,3,5 or 7 is called a humble number. The sequence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, ... shows the first 20 humble numbers.

Now given a humble number, please write a program to calculate the number of divisors about this humble number.For examle, 4 is a humble,and it have 3 divisors(1,2,4);12 have 6 divisors.

Input

The input consists of multiple test cases. Each test case consists of one humble number n,and n is in the range of 64-bits signed integer. Input is terminated by a value of zero for n.

Output

For each test case, output its divisor number, one line per case.

Sample Input

4

12

0

Sample Output

3

6

       （1）編程思路。

        若一個大於1正整數n能夠分解質因數：n=(p1^a1)*(p2^a2)*(p3^a3)*…*(pk^ak),

        則由約數個數定理可知n的正約數有 (a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)個。

        本題要求一個給定醜數n的約數個數，而一個醜數分解質因數後，其質因子只有二、三、5或7這4個，所以只需求出n中分別含有質因子二、三、5和7的個數便可。

        （2）源程序。

#include <stdio.h>

int fun(__int64 n,int x)    // 求整數n分解質因數後含質因子x的個數

{        int sum=0;

         while(n%x==0)

         {

                   sum++;

                   n/=x;

         }

         return sum;

}

int main()

{

         int cnt1,cnt2,cnt3,cnt4;

         __int64 n;

         while(scanf("%I64d",&n) && n!=0)

         {

                   cnt1=cnt2=cnt3=cnt4=1;

                   cnt1+=fun(n,2);

                   cnt2+=fun(n,3);

                   cnt3+=fun(n,5);

                   cnt4+=fun(n,7);

                   printf("%d\n",cnt1*cnt2*cnt3*cnt4);

         }

         return 0;

}