（僞）再擴展中國剩餘定理（洛谷P4774 [NOI2018]屠龍勇士）（中國剩餘定理，擴展歐幾里德，multiset）

前言

咱們熟知的中國剩餘定理，在使用條件上實際上是很苛刻的，要求模線性方程組\(x\equiv c(\mod m)\)的模數兩兩互質。

因而就有了擴展中國剩餘定理，其實現方法大概是經過擴展歐幾里德把兩個同餘方程合併，具體會在下面提到。

可是，使用仍有限制，那就是\(x\)的係數必須爲\(1\)。

不要緊，把它再擴展一下

題目及實現

洛谷題目傳送門

題意分析

顯然，若是咱們能幹掉全部龍，那麼每一次使用的劍的攻擊力是已知的，設爲\(k\)。那麼對於每一條龍，攻擊次數\(x\)必須知足\(kx\equiv a(\mod p)\)；固然別忘記要先把生命值降到非正數，也就是說還要知足\(kx\geq a\)即\(x\geq\lceil\frac a k\rceil\)。

能夠看出不能直接用擴展中國剩餘定理，但不妨礙先介紹一下它。

擴展中國剩餘定理

若是有一個模線性方程組，每一個形如\(x\equiv c(\mod m)\)，並且不保證\(m\)兩兩互質，就用不了中國剩餘定理了。

擴展中國剩餘定理是這樣作的。

咱們先把問題簡化到一個方程組只有兩個方程的狀況，形如

\[\begin{cases}x\equiv c_1(\mod m_1)\\x\equiv c_2(\mod m_2)\end{cases}\]

把它寫成不定方程的形式

\[\begin{cases}x=c_1+m_1x_1\\x=c_2+m_2x_2\end{cases}\]

這樣就能夠合併了，解一下\(x_1\)，因此\(x_2\)可變號

\[c_1+m_1x_1=c_2+m_2x_2\\m_1x_1+m_2x_2=c_1-c_2\]

發現變成了一個二元一次不定方程的樣子，設\(g=gcd(m_1,m_2)\)，用擴展歐幾里德求\(m_1x_1+m_2x_2=g\)中\(x_1\)的一個解\(x'\)，因而用\(\frac{c_1-c_2}gx'+\frac{m_2}gt(t\in\mathbb Z)\)能夠表示\(x_1\)的解集（關於通常二元一次不定方程的解法和解的週期性證實能夠看看蒟蒻以前寫的一篇題解）

把解集帶回\(x=c_1+m_1x_1\)獲得

\[x=c_1+\frac{m_1(c_1-c_2)}gx'+\frac{m_1m_2}gt\]

\[x\equiv c_1+\frac{m_1(c_1-c_2)}gx'(\mod {\frac{m_1m_2}g})\]

這樣，咱們設初始方程爲\(x\equiv 0(\mod1)\)，每次合併兩個方程獲得新的方程。固然中途若是有一次出現\(\frac{c_1-c_2}g\)不爲整數則整個方程組無解。

再擴展

那麼模線性方程組，每一個形如\(kx\equiv a(\mod p)\)該怎麼解好呢？

仍是要合併方程。仍然設一個總方程\(x\equiv c(\mod m)\)，將它與當前方程合併。

下面是同步賽上手推的式子，請直接跳過這一段，由於式子是錯的，只有45分。說不定有些Dalao和個人想法同樣？

直接合並

\[\begin{cases}x=c+mx_0\\kx+py_0=a\end{cases}\\k(mx_0+c)+py_0=a\\kmx_0+py_0=a-kc\]

設\(g=gcd(km,p)\)，解不定方程獲得一個解\(x'\)，有

\[x_0=\frac{a-kc}gx'+\frac p gt\\x=c+\frac{m(a-kc)}gx'+\frac{mp}gt\]

\[x=c+\frac{m(a-kc)}gx'(\mod\frac{mp}g)\]

爲何不能直接合並呢？由於連當前\(kx\equiv a(\mod p)\)能不能解都沒有考慮。

因此正確的方法應該是先解當前方程\(kx+py=a\)。

設\(g=gcd(k,p)\)，解\(x'\)，得\(x=\frac a gx'+\frac p gt\)即\(x\equiv\frac a gx'(\mod\frac p g)\)

方程裏\(x\)的係數被去掉了！能夠從求逆元的角度來理解這一個過程。

固然，會有一些特殊狀況。若是\(p\mid k\)且\(p\mid a\)，方程恆成立，咱們不把它與總方程合併。若是\(p\mid k\)且\(p\nmid a\)，顯然無解。

最後就是用擴展中國剩餘定理合併啦。

具體實現

肯定每次攻擊使用的劍，直接用multiset解決，二分找到知足要求的劍（比較舒服的是upper_bound找第一個比要求大的劍，若是等於begin-iterator的話就說明沒有不大於要求值的，直接選它，不然--iterator就是知足要求的），把它刪掉，再加入當前獎勵的劍。注意刪的時候刪的是iterator而不是數字。

再次提醒要注意\(x\geq\lceil\frac a k\rceil\)。能夠求出\(\max\{\lceil\frac a k\rceil\}\)，若是最後總方程的\(c\)小於它，則要補至知足條件的最小值，用式子寫一下大概是\(c+m\lceil\frac{\max-c}{m} \rceil\)（能夠理解成，如今c和max還有差距，可是爲了保證c模m的值不變，因此一次次給c加上m直到大於等於max）。

注意數據範圍，會爆longlong的地方用快速乘。注意處理負數。

多組數據，注意清空和初始化。

#include<cstdio>
#include<set>
#define RG register
#define R RG LL
#define GC c=getchar()
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+9;
LL a[N],p[N],b[N],X,Y,G;
multiset<LL>s;
inline LL in(){
    RG char GC;
    while(c<'-')GC;
    R x=c&15;GC;
    while(c>'-')x*=10,x+=c&15,GC;
    return x;
}
void exgcd(R a,R b){
    if(!b){X=1;Y=0;G=a;return;}
    exgcd(b,a%b);
    (Y^=X^=Y^=X)-=a/b*X;
}
inline LL mul(R b,R k,R m){//快速乘
    R a=0;
    for(;k;k>>=1,b=(b<<1)%m)
        if(k&1)a=(a+b)%m;
    return a;
}
int main(){
    freopen("dragon.in","r",stdin);
    freopen("dragon.out","w",stdout);
    R T=in(),n,m,i,c,k,mx;
    RG multiset<LL>::iterator it;
    E:while(T--){
        n=in();m=in();
        for(i=1;i<=n;++i)a[i]=in();
        for(i=1;i<=n;++i)p[i]=in();
        for(i=1;i<=n;++i)b[i]=in();
        s.clear();//注意清空
        for(i=1;i<=m;++i)s.insert(in());
        mx=c=0;m=1;//初始總方程
        for(i=1;i<=n;++i){
            it=s.upper_bound(a[i]);//謹慎選擇lower_bound和upper_bound
            if(it!=s.begin())--it;
            k=*it;s.erase(it);s.insert(b[i]);//當心手一滑erase(*it)(竟然還有90分)
            mx=max(mx,(a[i]-1)/k+1);//更新限制
            k%=p[i];a[i]%=p[i];//開始解方程，去掉係數
            if(!k&&a[i]){puts("-1");goto E;}
            if(!k&&!a[i])continue;//這兩個要特判
            exgcd(k,p[i]);
            if(a[i]%G){puts("-1");goto E;}
            p[i]/=G;
            a[i]=mul(a[i]/G,(X%p[i]+p[i])%p[i],p[i]);
            exgcd(m,p[i]);//開始合併，X和a-c均可能是負數
            if((a[i]-c)%G){puts("-1");goto E;}
            m=m/G*p[i];
            c=(c+mul(mul(m/p[i],((a[i]-c)%m+m)%m,m),(X%m+m)%m,m))%m;
        }
        printf("%lld\n",c>=mx?c:c+m*((mx-c-1)/m+1));//知足限制
    }
    return 0;
}