偏離中軸的cos半球積分問題

問題：

若是N與n重合，則就是普通的cos半球積分，地球人都知道結果是pi。

對於N與n不重合的通常狀況，稍微麻煩一些。

解法1（同濟高數課本的方法，參考同濟高數第六版第二冊「曲面積分」一章）：

解法2（pbrt的方法）：

補充1：

須要注意的是，以上兩個解法中的（Nx,Ny,Nz）爲N在表面切空間中的座標，若是咱們但願結果與空間（座標系）選取無關，則應該將結果寫爲：

補充2：

從計算結果能夠看出積分值只與N在表面切空間中的z份量有關，即代表N繞n旋轉積分結果不變（各向同性），這一點直接看圖也能看出來。