向量點乘 推導及應用

u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3)

 

dot（點乘 & 內積）

結果是一個float，表示兩個向量的夾角。點積公式：u * v = u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)

若是點乘的結果爲0，那麼這兩個向量互相垂直；若是結果大於0，那麼這兩個向量的夾角小於90度；若是結果小於0，那麼這兩個向量的夾角大於90度

 

例子:

 

圖(a)中 向量AC投影到v

 

圖(b)定義了由向量v順時針旋轉90°獲得.從c向L作垂線,能夠將c分解成沿v方向的部分Kv和垂直v方向的部分,其中K M是特定的常數.即:

 (1)                                                       

給定c和v,咱們想獲得K和M.求出這兩個值後,咱們能夠說c到v的正交投影是Kv而且點C到直線的距離是.

求解含量個未知數的兩個方程的方法是消去一個未知數,即:讓等式兩邊都點乘v

 (2)                                                   

根據 若是點乘的結果爲0，那麼這兩個向量互相垂直 得知   結果是0因此

 (3)                                                   

即:

(4)                                                    

同理:讓等式(1)兩邊同時點乘能夠獲得

(5)                                                    

合併以上結果

(6)

 

 

投影應用:反射

 

 

假設 a n都是單位向量

那麼a在n上的投影是-a點成n

r-a是在這一投影的基礎上又加上一個 也就是說r-a是沿方向n,長度爲 的向量.

因而