復旦高等代數 I（18級）每週一題

[問題2018A01]  計算下列 $n+1$ 階行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -2 & a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ (-1)^{n-1}n & a_1^n & a_2^n & \cdots & a_n^n \\ \end{vmatrix}.$$

[問題2018A02]  設 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 爲 $n$ 個複數, 知足: $$\left\{\begin{array}{l}\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=r,\\ \lambda_1^2+\lambda_2^2+\cdots+\lambda_n^2=r,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots \\ \lambda_1^n+\lambda_2^n+\cdots+\lambda_n^n=r,\\ \lambda_1^{n+1}+\lambda_2^{n+1}+\cdots+\lambda_n^{n+1}=r,\\ \end{array}\right.$$ 其中 $r\in [0,n]$ 爲整數. 證實: $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 中有 $r$ 個 $1$, $n-r$ 個 $0$.

提示  用 VanderMonde 行列式和 Cramer 法則來作.

[問題2018A03]  設 $A=(a_{ij})$ 爲 $n$ 階方陣, $b$ 爲常數, 方陣 $B=(a_{ij}+b)$, 即 $B$ 的每一個元素都是 $A$ 中對應元素加上 $b$.

(1) 證實: $A$ 的全部代數餘子式之和等於 $B$ 的全部代數餘子式之和;

(2) 進一步假設 $A$ 是偶數階反對稱陣, 證實: $|A|=|B|$.

[問題2018A04]  計算下列 $n$ 階行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ n-1 & x & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & n-2 & x & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n-3 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \\ \end{vmatrix}.$$

[問題2018A05]  設 $\alpha,\beta$ 爲 $n$ 維列向量且 $\alpha\neq 0$, 試構造 $n$ 階方陣 $A$, 知足如下兩個條件：

(1) $A\alpha=\beta$;

(2) 對任一知足 $\alpha'\gamma=0$ 的 $n$ 維列向量 $\gamma$, 均有 $A\gamma=\gamma$.

[問題2018A06]  試求下列矩陣 $A=(a_{ij})$ 的秩, 其中:

(1) $a_{ij}=\cos(\alpha_i-\beta_j)$ (參考復旦高代教材第二章複習題46)；

(2) $a_{ij}=1+x_iy_j$ (參考復旦高代教材第二章複習題45).

[問題2018A07]  設 $V_1,\cdots,V_m,W$ 都是線性空間 $V$ 的子空間, 知足 $W\subseteq V_1\bigcup V_2\bigcup\cdots\bigcup V_m$. 證實: 存在某個 $1\leq i\leq m$, 使得 $W\subseteq V_i$.

[問題2018A08]  設 $A,B$ 分別爲 $m\times n$ 和 $n\times m$ 矩陣, $C$ 爲 $n$ 階非異陣, 知足 $A(C+BA)=0$. 證實: 線性方程組 $Ax=0$ 的通解爲 $(C+BA)\alpha$, 其中 $\alpha$ 爲任意的 $n$ 維列向量.

[問題2018A09]  設 $S$ 是線性空間 $V$ 中的向量族, 而且至少包含一個非零向量. 證實: $S$ 存在極大無關組的充要條件是 $S$ 張成的子空間 $L(S)$ 是一個有限維線性空間.

注  本題推廣了復旦高代教材的命題 3.5.1.

[問題2018A10]  設 $V,U$ 分別是數域 $K$ 上的 $n,m$ 維線性空間, $\varphi,\psi:V\to U$ 是兩個線性映射, 證實: $\mathrm{Im\,}\varphi\subseteq\mathrm{Im\,}\psi$ 的充要條件是存在 $V$ 上的線性變換 $\xi$, 使得 $\varphi=\psi\xi$.

[問題2018A11]  (1) 請利用相抵標準型理論證實: 若 $A$ 爲 $n$ 階冪等陣, 即 $A^2=A$, 則 $\mathrm{tr}(A)=r(A)$. 利用類似標準型理論證實這一結論, 可參考白皮書的例 4.49(2).

(2) 設 $\varphi$ 是 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 知足 $\varphi^m=I_V\,(m\geq 2)$, $W=\mathrm{Ker}(I_V-\varphi)$. 證實: 線性變換 $\dfrac{1}{m}\sum\limits_{i=0}^{m-1}\varphi^i$ 的跡等於 $\dim W$.

[問題2018A12]  設循環矩陣 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}$, 證實: 伴隨陣 $A^*$ 也是循環矩陣.

提示  把 $A$ 類似於對角陣, 而後用 Lagrange 插值公式來作.

[問題2018A13]  設復係數多項式 $f(x),g(x)$ 互素, 證實: $f(x)^2+g(x)^2$ 的重根必爲 $f'(x)^2+g'(x)^2$ 的根.

[問題2018A14]  設 $p$ 爲奇素數, 證實: 多項式 $f(x)=(p-1)x^{p-2}+(p-2)x^{p-3}+\cdots+2x+1$ 在有理數域上不可約.