復旦高等代數 II（15級）思考題

[問題2016S01]  設 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 是整係數首一多項式, 知足: $|a_0|$ 是素數且 $$|a_0|>1+\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|,$$ 證實: $f(x)$ 是有理數域上的不可約多項式.

注  上述不可約多項式的判別法稱爲 Osada 定理.

[問題2016S02]  (1) 設 $\varphi$ 是 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, $V$ 有一個直和分解: $$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m,$$ 其中每一個 $V_i$ 都是 $\varphi$-不變子空間. 設 $\lambda_0$ 是 $\varphi$ 的特徵值, $V_0=\{v\in V\mid \varphi(v)=\lambda_0v\}$ 爲對應的特徵子空間, $V_{i,0}=\{v\in V_i\mid \varphi(v)=\lambda_0v\}$ 爲 $V_i$ 的子空間 ($i=1,\cdots,m$). 證實: $$V_0=V_{1,0}\oplus V_{2,0}\oplus\cdots\oplus V_{m,0}.$$

(2) 設 $n$ 階方陣 $A=\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ 爲分塊對角陣, 其中 $A_i$ 是 $n_i$ 階方陣. 任取 $A_i$ 的特徵值 $\lambda_i$ 和特徵向量 $0\neq\alpha_i\in\mathbb{C}^{n_i}$, 證實: 可在 $\alpha_i$ 的上下添加適當多的零, 獲得非零向量 $\widetilde{\alpha}_i\in\mathbb{C}^n$, 使得 $A\widetilde{\alpha}_i=\lambda_i\widetilde{\alpha}_i$, 即 $\widetilde{\alpha}_i$ 是 $A$ 關於特徵值 $\lambda_i$ 的特徵向量, 稱爲 $\alpha_i$ 的延拓.

(3) 假設同 (2), 任取 $A$ 的特徵值 $\lambda_0$, 並設 $\lambda_0$ 是 $A_{i_1},\cdots,A_{i_r}$ 的特徵值, 但不是其餘 $A_j\,(1\leq j\leq m,\,j\neq i_1,\cdots,i_r)$ 的特徵值, 證實: $A$ 關於特徵值 $\lambda_0$ 的特徵子空間的一組基可取爲 $A_{i_k}\,(k=1,\cdots,r)$ 關於特徵值 $\lambda_0$ 的特徵子空間的一組基的延拓的並集.

[問題2016S03]  (1) $n$ 元非零復係數多項式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的零點集 $Z(f)=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in\mathbb{C}^n\mid f(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0\}$ 稱爲 $\mathbb{C}^n$ 中的一個超曲面. 證實: 若把線性同構 $M_n(\mathbb{C})\cong\mathbb{C}^{n^2}$ 當作是等同, 則全部不可對角化的 $n$ 階復矩陣包含在 $\mathbb{C}^{n^2}$ 的一個超曲面中.

(2) 設 $A=(a_{ij})$ 爲 $n$ 階復矩陣, 證實: 存在 $n$ 階矩陣 $A(t)=(a_{ij}(t))$, 其中 $a_{ij}(t)$ 是關於 $t$ 的多項式, 使得 $A(0)=A$, 即 $a_{ij}(0)=a_{ij}$ 對任意的 $i,j$ 都成立, 而且當 $0<t\ll 1$ 時, $A(t)$ 都是可對角化的矩陣.

注  上述結論告訴咱們: 可對角化的矩陣「遠遠」比不可對角化的矩陣來的多, 而且可取到一列可對角化的矩陣「逼近」任一不可對角化的矩陣 (想象一下它們的幾何意義).

[問題2016S04]  設 $n$ 階方陣 $A$ 適合多項式 $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0$, 其中 $|a_m|>\sum\limits_{i=0}^{m-1}|a_i|$. 證實: 矩陣方程 $2X+AX=XA^2$ 只有零解.

[問題2016S05]  設 $A=(a_{ij})$ 爲 $n$ 階復矩陣, 證實: 存在正數 $\delta$, 使得對任意的 $s\in(0,\delta)$, 下列矩陣都可對角化: $$A(s)=\begin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22}+s^2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}+s^n \end{pmatrix}.$$

注  本題由樓紅衛教授提供.

[問題2016S06]  (1) 設 $A(\lambda)=(a_{ij}(\lambda))$ 是 $n$ 階 $\lambda$-矩陣, 則其行列式定義爲 $$|A(\lambda)|=\sum_{(i_1,i_2,\cdots,i_n)\in S_n}(-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{i_11}(\lambda)a_{i_22}(\lambda)\cdots a_{i_nn}(\lambda).$$ 利用上述定義證實: $n$ 階 $\lambda$-矩陣的行列式知足九條性質, 其中前八條參考教材的第 1.3 節和第 1.4 節, 第九條性質參考教材的定理 1.4.1 和定理 1.4.2.

(2) 證實: $\lambda$-矩陣的行列式知足 Laplace 定理和 Cauchy-Binet 公式. 特別地, 設 $A(\lambda),B(\lambda)$ 爲 $n$ 階 $\lambda$-矩陣, 則 $$|A(\lambda)\cdot B(\lambda)|=|A(\lambda)|\cdot |B(\lambda)|,$$ 即 $\lambda$-矩陣乘積的行列式等於其行列式的乘積.

(3) 設 $n\,(n\geq 2)$ 階 $\lambda$-矩陣 $A(\lambda)$ 的伴隨矩陣爲 $A(\lambda)^*$, 它的元素即爲 $A(\lambda)$ 中元素的代數餘子式, 所以 $A(\lambda)^*$ 也是一個 $n$ 階 $\lambda$-矩陣. 設 $A(\lambda),B(\lambda)$ 爲 $n\,(n\geq 2)$ 階 $\lambda$-矩陣, 證實 $\lambda$-矩陣的伴隨矩陣知足以下性質:

(3.1) $A(\lambda)A(\lambda)^*=A(\lambda)^*A(\lambda)=|A(\lambda)|I_n$;

(3.2) $(A(\lambda)B(\lambda))^*=B(\lambda)^*A(\lambda)^*$;

(3.3) $|A(\lambda)^*|=|A(\lambda)|^{n-1}$;

(3.4) $(A(\lambda)^*)^*=|A(\lambda)|^{n-2}A(\lambda)$.

(4) 設 $A\in M_n(\mathbb{K})$ 的特徵多項式 $f(\lambda)=|\lambda I_n-A|$, 試對特徵矩陣 $\lambda I_n-A$ 利用 (3.1) 證實 Cayley-Hamilton 定理, 即 $f(A)=0$.

(5) 設 $A(\lambda)$ 爲 $n$ 階 $\lambda$-矩陣, 證實下列結論等價:

(5.1) $A(\lambda)$ 是可逆 $\lambda$-矩陣；

(5.2) $A(\lambda)$ 的行列式是非零常數;

(5.3) $A(\lambda)$ 的相抵標準型是 $I_n$;

(5.4) $A(\lambda)$ 只經過 $\lambda$-矩陣的初等行變換或初等列變換就可變爲 $I_n$;

(5.5) $A(\lambda)$ 是有限個初等 $\lambda$-矩陣的乘積,

上述結論之一成立時, $A(\lambda)^{-1}=\dfrac{1}{|A(\lambda)|}A(\lambda)^*$.

注  上述結論的 (2) 和 (5) 將會在講授教材第 7.2 節時給出證實.

[問題2016S07]  設 $A$ 爲 3 階實矩陣, 知足 $AA'=k^2I_3$ 且 $|A|=k^3$, 其中 $k$ 是非負實數. 求證: 存在實數 $t\in[-1,3]$, 使得 $$A^3-tkA^2+tk^2A-k^3I_3=0.$$

[問題2016S08]  試用線性空間理論以及多項式理論從新證實教材中的推論 7.3.4: 設 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{K}$ 是兩個數域, $A,B$ 是 $\mathbb{F}$ 上的兩個矩陣, 則 $A,B$ 在 $\mathbb{F}$ 上類似當且僅當 $A,B$ 在 $\mathbb{K}$ 上類似.

提示  將 $\mathbb{K}$ 當作是 $\mathbb{F}$ 上的線性空間, 當 $\dim_{\mathbb{F}}\mathbb{K}<\infty$ 時, 把基寫出並把 $\mathbb{K}$ 上的過渡矩陣寫成 $\mathbb{F}$ 上矩陣的 $\mathbb{K}$-線性組合, 而後再利用多元多項式理論獲得 $\mathbb{F}$ 上的過渡矩陣; 當 $\dim_{\mathbb{F}}\mathbb{K}=\infty$ 時, 由 Zorn 引理可取到一組基 (個數無限), 重複上述討論時仍可回到有限的情形.

[問題2016S09]  設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換. 設 $0\neq v\in V$, 多項式 $g(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda]$, 若 $g(\varphi)(v)=0$, 則稱 $g(\lambda)$ 爲 $\varphi$ 在 $v$ 處的零化多項式. 若首一多項式 $m_v(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda]$ 是 $\varphi$ 在 $v$ 處全部非零零化多項式中的次數最小者, 則稱 $m_v(\lambda)$ 爲 $\varphi$ 在 $v$ 處的極小多項式 (當固定 $\varphi$ 時, $m_v(\lambda)$ 簡稱爲 $v$ 的極小多項式).

(1) 證實: 對任意的 $0\neq v\in V$, 其極小多項式 $m_v(\lambda)$ 存在而且惟一 (先證基本性質: 極小多項式整除任意的零化多項式).

(2) 設 $0\neq v\in V$, 由 $\{v,\varphi(v),\varphi^2(v),\cdots\}$ 張成的子空間記爲 $C(\varphi,v)$, 稱爲 $\varphi$ 的由 $v$ 生成的循環子空間 (這是包含 $v$ 的最小的 $\varphi$-不變子空間), $v$ 稱爲循環子空間 $C(\varphi,v)$ 的循環向量. 設 $\dim C(\varphi,v)=k$, 證實: $\{v,\varphi(v),\cdots,\varphi^{k-1}(v)\}$ 是 $C(\varphi,v)$ 的一組基. 若設 $$\varphi^k(v)=-a_0v-a_1\varphi(v)-\cdots-a_{k-1}\varphi^{k-1}(v),$$ 令 $$m_v(\lambda)=\lambda^k+a_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0,$$ 證實: $m_v(\lambda)$ 是 $v$ 的極小多項式.

(3) 記號和假設同 (2), 證實:

(3.1) $C(\varphi,v)$ 中任一貫量均可寫成 $g(\varphi)(v)$ 的形式, 其中 $g(\lambda)\in\mathbb{K}[x]$, $\deg g(\lambda)<k$;

(3.2) $g(\varphi)(v)$ 也是 $C(\varphi,v)$ 的循環向量 (即 $C(\varphi,g(\varphi)(v))=C(\varphi,v)$) 的充要條件是 $(g(\lambda),m_v(\lambda))=1$;

(3.3) 對 $m_v(\lambda)$ 的任一很是數首一因式 $h(\lambda)$, 存在 $0\neq w\in C(\varphi,v)$, 使得 $m_w(\lambda)=h(\lambda)$;

(3.4) $C(\varphi,v)$ 只有有限個 $\varphi$-不變子空間, 即爲 $\{C(\varphi,g(\varphi)(v))\mid g(\lambda)$ 是 $m_v(\lambda)$ 的首一因式$\}$.

(4) 設 $0\neq u,v\in V$ 的極小多項式分別爲 $m_u(\lambda),m_v(\lambda)$, 證實:

(4.1) 若 $(m_u(\lambda),m_v(\lambda))=1$, 則 $C(\varphi,u)+C(\varphi,v)=C(\varphi,u)\oplus C(\varphi,v)$, 而且 $u+v$ 的極小多項式爲 $m_u(\lambda)\cdot m_v(\lambda)$;

(4.2) 存在 $0\neq w\in C(\varphi,u)+C(\varphi,v)$, 使得 $m_w(\lambda)=[m_u(\lambda),m_v(\lambda)]$.

(5) 設 $\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$ 是 $V$ 的一組基, $m_i(\lambda)$ 分別是 $v_i$ 的極小多項式, $m(\lambda)$ 是 $\varphi$ 的極小多項式, 證實: $$m(\lambda)=[m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots,m_n(\lambda)].$$

(6) 設 $m(\lambda)$ 是 $\varphi$ 的極小多項式, 證實: 存在 $0\neq v\in V$, 使得 $v$ 的極小多項式 $m_v(\lambda)=m(\lambda)$.

(7) 設 $\varphi$ 在 $\mathbb{K}$ 中有 $n$ 個不一樣的特徵值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 對應的特徵向量爲 $v_1,v_2,\cdots,v_n$, 證實: $V$ 是循環空間, 並求其循環向量.

注  第 6 問可由有理標準型理論或線性空間理論獲得直接的存在性證實, 這裏請利用前 5 問的結論給出具體的構造性證實.

[問題2016S10]  (1) 證實實對稱陣的特徵值都是實數, 進一步利用 Jordan 標準型理論和反證法證實實對稱陣均可實對角化.

(2) 證實實反對稱陣的特徵值都是 0 或純虛數, 進一步利用 Jordan 標準型理論和反證法證實實反對稱陣均可復對角化.

[問題2016S11]  (1) 設 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 與全部的 $A^k\,(k\geq 1)$ 都類似, 求 $A$ 的 Jordan 標準型.

(2) 設非異陣 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 與 $A^{-1}$ 類似, 求 $A$ 的 Jordan 標準型.

注  本題爲新白皮書例 7.7 和例 7.8 的逆向命題.

[問題2016S12]  設 $A$ 是非異復矩陣, 證實: $A=BC$, 知足:

(1) $B$ 可對角化;

(2) $C$ 的特徵值全爲 $1$;

(3) $BC=CB$;

(4) $B,C$ 均可表示爲 $A$ 的多項式,

而且知足條件 (1)--(3) 的分解必惟一.

注  本題稱爲乘法形式的 Jordan-Chevalley 分解定理.

[問題2016S13]  設 $\varphi$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 其特徵多項式 $f(\lambda)=P_1(\lambda)P_2(\lambda)\cdots P_k(\lambda)$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互異的首一不可約多項式, 試求全部的 $\varphi$-不變子空間.

[問題2016S14]  證實: 對任意的非異陣 $A\in M_n(\mathbb{C})$, 存在 $B\in M_n(\mathbb{C})$, 使得 $\mathrm{e}^B=A$.

[問題2016S15]  設 $f(z)$ 是收斂半徑等於 $+\infty$ 的復冪級數, 證實: 對任一 $A\in M_n(\mathbb{C})$, 存在一個依賴於 $A$ 的多項式 $g(\lambda)\in\mathbb{C}[\lambda]$, 使得 $f(A)=g(A)$.

注  矩陣函數也能夠用多項式來定義. 本題告訴咱們, 這種定義與冪級數的定義是等價的.

[問題2016S16]  (1) 設 $A$ 爲 $n$ 階正定實對稱陣, 證實: 對任意的 $x\in\mathbb{R}^n$, 成立 $0\leq x'(A+xx')^{-1}x<1$, 並求等於零的充要條件; 進一步, 對任意的 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$, 成立 $0\leq |B'(A+BB')^{-1}B|<1$, 並求等於零的充要條件;

(2) 設 $A$ 爲 $n$ 階半正定實對稱陣, 證實: 存在 $x\in\mathbb{R}^n$, 使得 $A+xx'$ 正定且 $x'(A+xx')^{-1}x=1$ 的充要條件是 $r(A)=n-1$; 進一步, 存在 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})\,(m\leq n)$, 使得 $A+BB'$ 正定且 $|B'(A+BB')^{-1}B|=1$ 的充要條件是 $r(A)=n-m$.

[問題2016S17]  設 $A$ 爲 $n$ 階實對稱陣, 其特徵值爲 $\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, 證實: $$\lambda_i=\min\limits_{V_i}\max\limits_{0\neq x\in V_i}\frac{x'Ax}{x'x}=\max\limits_{V_{n-i+1}}\min\limits_{0\neq x\in V_{n-i+1}}\frac{x'Ax}{x'x}\,\,(i=1,2,\cdots,n),$$ 其中 $V_j$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 的 $j$ 維子空間.

注  本題的結論稱爲「極小極大定理」或「Courant-Fisher 定理」.

[問題2016S18]  設 $A$ 爲 $n$ 階實對稱陣, 其特徵值爲 $\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$.

(1) 設 $S$ 爲 $n\times m$ 階實矩陣, 知足 $S'S=I_m$, $m$ 階實對稱陣 $S'AS$ 的特徵值爲 $\mu_1\leq\mu_2\leq\cdots\leq\mu_n$, 證實: $$\lambda_j\leq\mu_j,\,\,\,\,\lambda_{n-j+1}\geq\mu_{m-j+1}\,\,(j=1,2,\cdots,m);$$

(2) 若 $A_m$ 是 $A$ 的 $m$ 階主子陣, 其特徵值爲 $\mu_1\leq\mu_2\leq\cdots\leq\mu_n$, 證實: $$\lambda_j\leq\mu_j,\,\,\,\,\lambda_{n-j+1}\geq\mu_{m-j+1}\,\,(j=1,2,\cdots,m).$$

注  本題的結論 (1) 稱爲「特徵值隔離定理」或「Poincare 定理」, 結論 (2) 稱爲「Cauchy 交錯定理」.

[問題2016S19]  設 $n$ 階實對稱陣 $A,B$ 的特徵值分別爲 $\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, $\mu_1\leq\mu_2\leq\cdots\leq\mu_n$, $C=A+B$ 的特徵值爲 $\nu_1\leq\nu_2\leq\cdots\leq\nu_n$,  證實: $$\lambda_j+\mu_1\leq\nu_j\leq\lambda_j+\mu_n\,\,(j=1,2,\cdots,n).$$ 特別地, $$|\nu_j-\lambda_j|\leq\|B\|_2:=\max\{|\mu_1|,|\mu_n|\}.$$

注  本題的結論稱爲「Weyl 攝動定理」.

[問題2016S20]  (1) 設 $V$ 是實 (復) 線性空間, 若存在 $V$ 上的實值函數 $\|\,\cdot\,\|:V\to\mathbb{R}$, 對任意的 $\alpha,\beta\in V$, $c\in\mathbb{R}\,(\mathbb{C})$, 知足:

(i) 非負性: $\|\alpha\|\geq 0$, 等號成立當且僅當 $\alpha=0$;

(ii) 齊次性: $\|c\alpha\|=|c|\cdot\|\alpha\|$;

(iii) 三角不等式: $\|\alpha+\beta\|\leq \|\alpha\|+\|\beta\|$,

則稱 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $V$ 上的一個範數. 給定範數的實 (復) 線性空間稱爲賦範線性空間. 例如在內積空間 $V$ 中, 由內積 $(-,-)$ 誘導的範數爲 $\|\alpha\|=(\alpha,\alpha)^{\frac{1}{2}}$, 所以內積空間必爲賦範線性空間. 證實下列實值函數是 $\mathbb{R}^n$ 上的範數, 其中 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in\mathbb{R}^n$:

(i) $\|\alpha\|_1:=\sum\limits_{i=1}^n|a_i|$ (稱爲 1-範數);

(ii) $\|\alpha\|_2:=\Big(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\Big)^{\frac{1}{2}}$ (稱爲 2-範數, 即由 Euclid 空間 $\mathbb{R}^n$ 上的標準內積誘導的 Euclid 範數);

(iii) $\|\alpha\|_\infty:=\max\limits_{1\leq i\leq n}|a_i|$ (稱爲 $\infty$-範數).

(2) 設 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的範數, 對任意的 $A\in M_n(\mathbb{R})$, 定義 $M_n(\mathbb{R})$ 上的實值函數爲 $\|A\|:=\max\limits_{\alpha\in\mathbb{R}^n,\,\|\alpha\|=1}\|A\alpha\|$, 證實:

(i) 上述實值函數 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $M_n(\mathbb{R})$ 上的範數, 稱爲從屬於 $\mathbb{R}^n$ 上範數 $\|\,\cdot\,\|$ 的算子範數;

(ii) 上述算子範數知足: 對任意的 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$, 成立 $\|A\cdot B\|\leq \|A\|\cdot\|B\|$;

(iii) $M_n(\mathbb{R})$ 上的 Frobenius 內積誘導的 Frobenius 範數 $\|A\|_F=\Big(\sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}^2\Big)^{\frac{1}{2}}$ 不多是從屬於 $\mathbb{R}^n$ 上某個範數的算子範數.

(3) 記從屬於 $\mathbb{R}^n$ 上 1-範數 $\|\,\cdot\,\|_1$, 2-範數 $\|\,\cdot\,\|_2$ 和 $\infty$-範數 $\|\,\cdot\,\|_\infty$ 的 $M_n(\mathbb{R})$ 上對應的算子範數分別爲 1-範數 $\|\,\cdot\,\|_1$, 2-範數 $\|\,\cdot\,\|_2$ 和 $\infty$-範數 $\|\,\cdot\,\|_\infty$, 對任意的 $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})$, 證實:

(i) $\|A\|_1=\max\limits_{1\leq j\leq n}\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|$;

(ii) $\|A\|_\infty=\max\limits_{1\leq i\leq n}\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|$;

(iii) $\|A\|_2=\big(\lambda_{max}(A'A)\big)^{\frac{1}{2}}$, 其中 $\lambda_{max}(A'A)$ 表示半正定實對稱陣 $A'A$ 的最大特徵值.

注  思考題 1七、1八、19 和 20 都有對應的複數域上的版本, 請讀者自行思考其形式並證實其結論.