[bzoj2820] YY的GCD

Description

神犇YY虐完數論後給傻×kAc出了一題給定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)爲質數的(x, y)有多少對kAc這種

傻×必然不會了，因而向你來請教……多組輸入

Input

第一行一個整數T 表述數據組數接下來T行，每行兩個正整數，表示N, M

Output

T行，每行一個整數表示第i組數據的結果

Sample Input

2
10 10
100 100

Sample Output

30
2791

HINT

T = 10000

N, M <= 10000000

Source

題解

前置知識：莫比烏斯反演

題目讓咱們求這個：
\[ ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [gcd(i,j) \in pri]\\ \]
其中\(pri\)表示質數集合。

而後枚舉這個質數：
\[ \begin {align} ans&= \sum _{d\in pri} \sum _{i=1}^{n} \sum _{j=1}^{m} [gcd(i,j)=d]\\ &=\sum _{d\in pri} \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} [gcd(i,j)=1] \\ \end {align} \]
根據莫比烏斯函數的性質能夠獲得：
\[ \sum _{d ^\prime|n} \mu(d ^\prime)=[n=1] \]
而後把\(n\)換成\(gcd(i,j)\)帶進去，得：
\[ ans=\sum _{d\in pri} \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} \sum _{d^\prime|i \&d^\prime|j} \mu (d^\prime) \]
而後先枚舉\(d^\prime\)，得：
\[ \begin{align} ans&=\sum _{d\in pri} \sum _{d^\prime} \mu (d^\prime) \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dd^\prime} \rfloor} \sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{dd^\prime} \rfloor} 1\\ ans&= \sum _{d\in pri} \sum _{d^\prime} \mu(d^\prime) \lfloor \frac{n}{dd^\prime}\rfloor \lfloor\frac{m}{dd^\prime}\rfloor \end {align} \]
令\(T=dd^\prime\)，得：
\[ \begin{align} ans&= \sum _{d \in pri } \sum _{T}\mu(\frac{T}{d}) \lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor\frac{m}{T}\rfloor \\ &= \sum _{T}\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor\frac{m}{T}\rfloor \sum _{d \in pri \& d|T} \mu(\frac{T}{d}) \end {align} \]

\[ \begin {align} &\text{令}f(n) = \sum _{d\in pri \& d|T} \mu (d) \\ &ans= \sum _{T}\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor\frac{m}{T}\rfloor f(T) \end {align} \]

線篩出質數和\(\mu\)函數以後，暴力預處理\(f\)並求出前綴和，而後數論分塊就好了。

因爲n之內的質數只有\(O(n/ln(n))\)個，因此預處理複雜度爲\(O(n/ln(n)*ln(n/ln(n))+n)=O(n)\)，具體參考調和級數。

而後詢問的複雜度爲\(O(q\sqrt{n})\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 1e7+1;

int mu[maxn+10],sum[maxn+10],pri[maxn+10],tot,vis[maxn+10],n,m;

void time() {cerr << (double) clock()/CLOCKS_PER_SEC << endl;}

void sieve() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++) {
        if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(!(i%pri[j])) {mu[i*pri[j]]=0;break;}
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }//time();write(tot);
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        for(int j=1;j*pri[i]<maxn;j++) sum[j*pri[i]]+=mu[j];
    for(int i=1;i<maxn;i++) sum[i]=sum[i]+sum[i-1];
    //time();
}

signed main() {
    sieve();int asd;read(asd);
    //for(int i=1;i<=10;i++) write(sum[i]);
    while(asd--) {
        read(n),read(m);
        if(n>m) swap(n,m);
        int T=1,ans=0;
        while(T<=n) {
            int pre=T;T=min(n/(n/T),m/(m/T));
            ans+=(n/pre)*(m/pre)*(sum[T]-sum[pre-1]);
            T++;
        }
        write(ans);
    }
    return 0;
}