浮點數加法引起的問題：浮點數的二進制表示

時間 2019-11-13

標籤浮點數加法引起問題二進制表示简体版

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一、問題：

以前有同窗問過這樣一個問題： javascript

echo|awk '{print 3.99 -1.19 -2.80}'
4.44089e-16

相似的問題還有在 java 或者 javascript 中： html

23.53 + 5.88 + 17.64 = 47.05

23.53 + 17.64 + 5.88 = 47.050000000000004

爲何結果不是 0 或者不相等呢？ java

若是你不能立馬回答出緣由，那說明你對浮點數計算的基本知識還不瞭解。 python

恰好最近 segmentfault.com 上也有同窗問了一樣的一個問題，如今整理下，以備忘。 mysql

二、浮點數的概念：

浮點數是屬於有理數中某特定子集的數的數字表示，在計算機中用以近似表示任意某個實數。具體的說，這個實數由一個整數或定點數（即尾數）乘以某個基數（計算機中一般是2）的整數次冪獲得，這種表示方法相似於基數爲10的科學記數法。程序員

浮點計算是指浮點數參與的運算，這種運算一般伴隨着由於沒法精確表示而進行的近似或舍入。算法

三、十進制到二進制的轉化問題：

爲了更好的理解，先來看一下10進制的純小數是怎麼表示的，假設有純小數D,它小數點後的每一位數字按順序造成一個數列：
{k1,k2,k3,...,kn}
那麼D又能夠這樣表示：
D = k1 / (10 ^ 1 ) + k2 / (10 ^ 2 ) + k3 / (10 ^ 3 ) + ... + kn / (10 ^ n )
推廣到二進制中，純小數的表示法即爲：
D = b1 / (2 ^ 1 ) + b2 / (2 ^ 2 ) + b3 / (2 ^ 3 ) + ... + bn / (2 ^ n )
如今問題就是怎樣求得b1,b2,b3,……,bn。算法描述起來比較複雜，仍是用數字來講話吧。聲明一下,1 / ( 2 ^ n ）這個數比較特殊，我稱之爲位階值。 sql

例如0.456,第1位,0.456小於位階值0.5故爲0；第2位,0.456大於位階值0.25,該位爲1,並將0.456減去0.25得0.206進下一位；第3位,0.206大於位階值0.125,該位爲1,並將0.206減去0.125得0.081進下一位；第4位,0.081大於0.0625,爲1,並將0.081減去0.0625得0.0185進下一位；第5位0.0185小於0.03125……
最後把計算獲得的足夠多的1和0按位順序組合起來，就獲得了一個比較精確的用二進制表示的純小數了，同時精度問題也就由此產生，許多數都是沒法在有限的n內徹底精確的表示出來的，咱們只能利用更大的n值來更精確的表示這個數，這就是爲何在許多領域，程序員都更喜歡用double而不是float。 shell

四、解釋：

對於開頭的問題，咱們再舉幾個例子（如下的例子採用 python 作示範）：數據庫

>>> 0.125
0.12500000000000000

>>> 0.1
0.10000000000000001

>>> 0.6 + 0.1
0.69999999999999996

納尼？什麼會這樣？
0.125，也就是 1/8，的二進制，是 0.001，能夠在 10 進制和 2 進制中輕鬆表達。
但 0.1 就是一個經典的頭疼數字了，它的二進制，是 0.00011001100110011001100110011001...，一個無限循環小數。因爲計算機中使用的浮點數是基於有限精度的二進制數，所以，不可能絕對準確。這一現象每每在打印浮點數時才被注意到。
浮點數的二進制表示，通常採用 IEEE 754 標準。標準規定：單精度格式具備 24 位有效數字，共 32 位。雙精度格式具備 53 位有效數字精度，共 64 位。
可是，現在的解釋器和 print 函數都足夠聰明，會在打印浮點數的時候自動舍入，可是又有一些浮點數因爲偏差過大，又不能捨入。
所以形成了「有些浮點數計算是對的，有些是錯的」的現象。事實上，全部的浮點數運算都是「錯」的。也就是你問題的答案。同時，這可能會成爲調試程序的煙幕彈：「哎？print 出來就是 0.1，爲何計算的時候會出現問題？」
例如，新版本的 Python 默認對全部的浮點數進行自動舍入。所以沒法重現我在文首的例子。這時，可使用

>>> print("%.17lf" % (0.6 + 0.1))
0.69999999999999996

同理，浮點數之間用 >, <, == 來比較大小是不可取的。須要看兩個浮點數是否在合理的偏差範圍，若是偏差合理，即認爲相等。
另一個陷阱是，浮點數的偏差會累積。

x = 0.0
for i in range(100):
    x += 0.1
print("%.17lf" % x)  #=> 9.99999999999998046
print(x)             #=> 99.1，print 自動舍入，獲得了看似正確的結果

在通常計算中，處理二進制浮點數須要用到不少技巧和技術。但在財務等運算中，必需要求徹底精確的結果，這時候，須要模擬 10 進制的浮點數。如 Python 中提供了 Decimal 模塊，容許使用者傳入浮點數的字符串進行模擬計算，避免精度問題。

from decimal import Decimal
x = Decimal("0.0")  # 注意：傳入字符串。若是傳入浮點數，那麼在計算以前精度就損失掉了
for i in range(100):
    x += Decimal("0.1")
print("%.17lf" % x)  #=> 10.00000000000000000
print(x)             #=> 10.0

關於 IEEE 浮點數，浮點數的大小比較等具體算法和細節，能夠觀看網易上麻省理工學院的這一集課程：

http://v.163.com/movie/2010/6/4/1/M6TCSIN1U_M6TCT0L41.html ，能夠從 05:39 處開始觀看。

五、結論

這就是爲何交易系統的價格，金錢都不會使用float,double,包括數據庫的存儲。例如：mysql 能夠用 decimal ，若是你是用 java，在商業計算中咱們要用 java.math.BigDecimal，注意：若是須要精確計算，非要用String來夠造BigDecimal不可！或者 sprintf 進行精度舍入。另外有些語言專門提供了處理金融數據的類型。