浮點數二進制表示

在討論浮點數以前，先看一下整數在計算機內部是怎樣表示的。

　　int num=9;

上面這條命令，聲明瞭一個整數變量，類型爲int，值爲9（二進制寫法爲1001）。普通的32位計算機，用4個字節表示int變量，因此9就被保存爲00000000 00000000 00000000 00001001，寫成16進制就是0x00000009。

那麼，咱們的問題就簡化成：爲何0x00000009還原成浮點數，就成了0.000000？

下面一步一步的揭曉答案。

先來看一個公式，計算浮點數的公式：

根據國際標準IEEE 754，任意一個二進制浮點數V能夠表示成下面的形式：

　　

　　（1）(-1)^s表示符號位，當s=0，V爲正數；當s=1，V爲負數。

　　（2）M表示有效數字，大於等於1，小於2。

　　（3）2^E表示指數位。

舉例來講，十進制的5.0，寫成二進制是101.0，至關於1.01×2^2。那麼，按照上面V的格式，能夠得出s=0，M=1.01，E=2。

十進制的-5.0，寫成二進制是-101.0，至關於-1.01×2^2。那麼，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754規定，對於32位的浮點數，最高的1位是符號位s，接着的8位是指數E，剩下的23位爲有效數字M。

對於64位的浮點數，最高的1位是符號位S，接着的11位是指數E，剩下的52位爲有效數字M。

 

IEEE 754對有效數字M和指數E，還有一些特別規定。

前面說過，1≤M<2，也就是說，M能夠寫成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小數部分。IEEE 754規定，在計算機內部保存M時，默認這個數的第一位老是1，所以能夠被捨去，只保存後面的xxxxxx部分。好比保存1.01的時候，只保存01，等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。這樣作的目的，是節省1位有效數字。以32位浮點數爲例，留給M只有23位，將第一位的1捨去之後，等於能夠保存24位有效數字。

至於指數E，狀況就比較複雜。

首先，E爲一個無符號整數（unsigned int）。這意味着，若是E爲8位，它的取值範圍爲0~255；若是E爲11位，它的取值範圍爲0~2047。可是，咱們知道，科學計數法中的E是能夠出現負數的，因此IEEE 754規定，E的真實值必須再減去一箇中間數，對於8位的E，這個中間數是127；對於11位的E，這個中間數是1023。

好比，2^10的E是10，因此保存成32位浮點數時，必須保存成10+127=137，即10001001。

而後，指數E還能夠再分紅三種狀況：

（1）E不全爲0或不全爲1。這時，浮點數就採用上面的規則表示，即指數E的計算值減去127（或1023），獲得真實值，再將有效數字M前加上第一位的1。

（2）E全爲0。這時，浮點數的指數E等於1-127（或者1-1023），有效數字M再也不加上第一位的1，而是還原爲0.xxxxxx的小數。這樣作是爲了表示±0，以及接近於0的很小的數字。

（3）E全爲1。這時，若是有效數字M全爲0，表示±無窮大（正負取決於符號位s）；若是有效數字M不全爲0，表示這個數不是一個數（NaN）。

 

下面，讓咱們回到一開始的問題：爲何0x00000009還原成浮點數，就成了0.000000？

首先，將0x00000009拆分，獲得第一位符號位s=0，後面8位的指數E=00000000，最後23位的有效數字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。

因爲指數E全爲0，因此符合上一節的第二種狀況。所以，浮點數V就寫成：

　　V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

顯然，V是一個很小的接近於0的正數，因此用十進制小數表示就是0.000000。