【題解】Luogu P2992 [USACO10OPEN]三角形計數Triangle Counting

原題傳送門

咱們考慮進行容斥

包含原點的三角形個數=全部可能三角形的個數-不包含原點三角形的個數

對於每一個點，咱們會發現：將它與原點連線，在直線左邊任選兩點或右邊任選兩點與這個點構成的三角形必定是不包含原點的

對於每一個點都這樣計算，累加，會發現有算重複的（但不會少狀況，本身畫畫圖就民白了），因此每次只選這個點向量的半平面上的兩個點

這樣咱們珂以對全部點進行極角排序，這樣就珂以作到線性

代碼中有幾點要注意：1.特判點數小於3 \(\quad\) 2.long long

#include <bits/stdc++.h>
#define db double
#define ll long long 
#define N 100005 
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
const db Pi=acos(-1.0);
const db eps=1e-10;
struct point{
    int x,y;
    db k;
    inline void cal()
    {
        k=atan2(y,x);
    }
    bool operator <(const point &b) const{
        return k<b.k;
    }
}p[N<<1];
int n,sum;
ll ans;
int main()
{
    n=read();
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        int x=read(),y=read();
        p[i]=(point){x,y};
        p[i].cal();
    }
    if(n==1||n==2)
    {
        puts("0");
        return 0;
    }
    ans=1ll*n*(n-1)*(n-2)/6;
    sort(p+1,p+1+n);
    for(register int i=n+1;i<=n<<1;++i)
        p[i]=p[i-n],p[i].k+=2*Pi;
    int l=0,r=0;
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        l=i+1;
        while(p[r+1].k+eps<p[i].k+Pi)
            ++r;
        ans-=1ll*(r-l+1)*(r-l)/2;
    }
    write(ans);
    return 0;
}