先驗機率與後驗機率

先驗機率：根據以往經驗和分析獲得的機率；

後驗機率：事情已經發生，這件事情的發生是由某個緣由引發的可能性的大小。（種果因機率,即在一個結果已經發生的條件下，多是其中某一個緣由形成的機率有多大。）

1）先驗：根據統計歷史上的經驗、常識當下事件發生的機率；

2）似然：當下事件由果及因發生的機率；

3）後驗：當下事件由因及果發生的機率。

先驗機率分佈，即關於某個變量 p 的機率分佈p(θ) ；對於結果 x ，在參數集合 θ 上的似然，就是在給定這些參數值的基礎上，觀察到的結果的機率 L(θ|x)=p(x|θ) ；後驗機率是關於參數 θ 在給定的證據信息 X 下的機率： p(θ|x) 。後驗機率定義以下：p(θ|x)=p(x|θ)p(θ)/p(x)。

舉例理解（1）：

先驗——根據若干年的統計（經驗）或者氣候（常識），某地方下雨的機率；

似然——下雨（果）的時候有烏雲（因/證據/觀察的數據）的機率，即已經有了果，對證據發生的可能性描述；

後驗——根據天上有烏雲（緣由或者證據/觀察數據），下雨（結果）的機率。

後驗 ~ 先驗*似然 ： 存在下雨的可能（先驗），下雨以前會有烏雲（似然）~ 經過如今有烏雲推斷下雨機率（後驗）。

 

先驗機率可理解爲統計機率，後驗機率可理解爲條件機率。

舉例理解（2）：設定背景：酒至半酣,忽陰雲漠漠,驟雨將至。

情景一：
「天不會下雨的，歷史上這裏下雨的機率是20%」----先驗機率
「但陰雲漠漠時，下雨的機率是80%」----後驗機率

情景二：
「飛飛別急着走啊，歷史上酒桌上死人的機率只有5%「----先驗機率
」可他是曹操啊，夢裏都殺人「----後驗機率

 

舉例理解（3）：用「順理成章」這個因果例子，從機率的角度理解，

先驗機率，就是常識、經驗所透露出的「因」的機率，即瓜熟的機率。

後驗機率，就是在知道「果」以後，去推測「因」的機率，也就是說，若是已經知道瓜蒂脫落，那麼瓜熟的機率是多少。

後驗和先驗的關係能夠經過貝葉斯公式來求。也就是：P（瓜熟 | 已知蒂落）=P（瓜熟）×P（蒂落 | 瓜熟）/ P（蒂落）

似然函數，根據已知結果去推測固有性質的可能性，是對固有性質的擬合程度，因此不能稱爲機率。在這裏就是說，不要管什麼瓜熟的機率，只關心瓜熟與蒂落的關係。若是蒂落了，那麼對瓜熟這一屬性的擬合程度有多大。似然函數，通常寫成L（瓜熟 | 已知蒂落），和後驗機率很是像，區別在於似然函數把瓜熟當作一個確定存在的屬性，然後驗機率把瓜熟當作一個隨機變量。

似然函數和條件機率的關係：似然函數就是條件機率的逆反。意爲：L（瓜熟 | 已知蒂落）= C × P（蒂落 | 瓜熟），C是常數。具體來講，如今有1000個瓜熟了，落了800個，那條件機率是0.8。那我也能夠說，這1000個瓜都熟的可能性是0.8C。之因此加個常數項，是由於似然函數的具體值沒有意義，只有看它的相對大小或者兩個似然值的比率纔有意義，後面還有例子。

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同理，若是理解上面的意義，分佈就是一「串」機率。

先驗分佈：如今常識不但告訴咱們瓜熟的機率，也說明了瓜青、瓜爛的機率

後驗分佈：在知道蒂落以後，瓜青、瓜熟、瓜爛的機率都是多少

似然函數：在知道蒂落的情形下，若是以瓜青爲必然屬性，它的可能性是多少？若是以瓜熟爲必然屬性，它的可能性是多少？若是以瓜爛爲必然屬性，它的可能性是多少？似然函數不是分佈，只是對上述三種情形下各自的可能性描述。

那麼咱們把這三者結合起來，就能夠獲得：後驗分佈 正比於 先驗分佈 × 似然函數。

先驗就是設定一種情形，似然就是看這種情形下發生的可能性，二者合起來就是後驗的機率。

至於似然估計：就是無論先驗和後驗那一套，只看似然函數，如今蒂落了，可能有瓜青、瓜熟、瓜爛，這三種狀況都有個似然值（L（瓜青）：0.六、L（瓜熟）：0.八、L（瓜爛）：0.7），咱們採用最大的那個，即瓜熟，這個時候假定瓜熟爲必然屬性是最有可能的。

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