常見波形的傅里葉級數展開式

引言

近來，在開展課題時遇到了須要將梯形波進行傅里葉級數展開的問題，查詢了一些資料（慚愧，一開始就沒想着本身動手積分），而後沒有找到本身想要的結果（其實有相近的，只不過不是任意週期的，當時沒有轉變過來），最後仍是動手算出來了，在這裏作一個小小的記錄，算是回顧之前的知識吧，捂臉。

因爲像三角波，矩形波，梯形波這種波形不連續，所以在仿真軟件中很容易出現計算不收斂的狀況。因此，在這種狀況下，利用一系列諧波疊加的形式來等價於原來的波形，能夠很好的優化模型。

預備知識

公式

給定一個週期爲 $T$ 的函數 $x(t)$ ，那麼它能夠表示爲無窮級數：

$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left [a_n \cos \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) + b_n \sin \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) \right ] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{2 {\pi} nx}{T} } $$

其中傅里葉係數爲：

$$ \left \{ \begin{aligned} a_n = &\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cdot \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \qquad &n=0, 1, 2, \cdots \\[2ex] b_n = &\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt &n=1, 2,3, \cdots \\[2ex] c_n = &\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cdot e^{-i \frac{2 {\pi} nt}{T} }dt &n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \end{aligned} \right. $$

性質

• 收斂性

在閉區間上知足狄利克雷條件的函數表示成的傅里葉級數都收斂。狄利克雷條件以下：

• 在定義區間上，$x(t)$需絕對可積；
• 在任一有限區間中，$x(t)$只能取有限個極值點；
• 在任何有限區間上，$x(t)$只能有有限個第一類間斷點。

知足上述條件的$x(t)$傅里葉級數都收斂，且：

• 當$t$是$x(t)$的連續點時，級數收斂於$x(t)$
• 當$t$是$x(t)$的間斷點時，級數收斂於$\frac{1}{2} \left [x(t^-)+x(t^+) \right ]$

• 正交性

所謂的兩個不一樣向量正交是指它們的內積爲0，這也就意味着這兩個向量之間沒有任何相關性，例如，在三維歐式空間中，互相垂直的向量之間是正交的。三角函數族的正交性用公式表示出來就是：

$$ \left\{ \begin{aligned} &\int_0^{2 \pi} \cos(mx) \cdot \cos(nx) dx =0 \qquad (m \ne n) \\[2ex] &\int_0^{2 \pi} \sin(nx) \cdot \sin(nx) dx = \pi \\[2ex] &\int_0^{2 \pi} \cos(nx) \cdot \cos(nx) dx = \pi \end{aligned} \right. $$

• 奇偶性

奇函數$f_o(x)$能夠表示爲正弦級數，而偶函數$f_e(x)$則能夠表示成餘弦級數：

$$ \begin{aligned} f_o(x) &\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) \\ f_e(x) &\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right )\end{aligned} $$

幾種常見波形的傅里葉級數展開式

如上圖所示，該梯形波是一個週期爲T的奇函數，幅值爲$A_{max}$，上升沿時間爲$d$，在區間$\left [0, \frac{T}{2} \right ]$的函數表達式爲：

$$ f(t) = \begin{cases} \frac {A_{max} }{d} t, \qquad \qquad & 0 \le t \le d \\[2ex] A_{max}, & d \le t \le \frac{T}{2} - d \\[2ex] \frac {A_{max} }{d} \left (\frac{T}{2} - t \right ), & \frac{T}{2} - d \le t \le \frac{T}{2} \end{cases} $$

由奇偶性可知，該波形在區間$\left [-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right ]$的傅里葉級數展開式爲：

$$ f(t) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right ) $$

其中傅里葉係數爲：

$$ b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \quad \quad n=1, 2,3, \cdots $$

將$f(t)$函數代入傅里葉係數表達式中，可得：

$$ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt = \frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2} } f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \\[2ex] &= \frac{4}{T} \left [ \int_0^d \frac{A_{max} }{d} t \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt + \int_d^{\frac{T}{2} - d} A_{max} \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt + \int_{\frac{T}{2} - d}^{\frac{T}{2} } \frac{A_{max} }{d} \left (\frac{T}{2}-t \right ) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \right ] \\[2ex] &= \left . \left . \frac{4}{T} \left [ -\frac{A_{max} }{d} {T \over {2 \pi n} } \cdot t \cdot \cos \left ( \frac{2\pi nt}{T} \right ) \right | _0^d + {A_{max} \over d } {T^2 \over 4 \pi^2 n^2} \cdot \sin \left( {2 \pi n t \over T} \right ) \right | _0^d \right ] + {4 \over T} \left [ \left . - {A_{max}T \over 2 \pi n} \cdot \cos \left( {2\pi nt \over T}\right) \right |_d^{ {T \over 2}-d} \right ] + {} \\[2ex] &{} + \left. {4 \over T} \left [ -{A_{max} \over d} {T \over 2 \pi n} \cdot \left ( {T \over 2} - t \right ) \cdot \cos \left ( \frac{2\pi nt}{T} \right ) \right | _{ {T \over 2} - d}^{T \over 2} - \left . {A_{max} \over d}{T^2 \over 4 \pi^2 n^2} \cdot \sin \left( {2 \pi n t \over T} \right ) \right | _{ {T \over 2} - d}^{T \over 2} \right ] \\[2ex] &= {4 \over T} \left \{ {A_{max} T^2 \over 4d \pi ^2 n^2} \left [ \sin \left( {2 \pi n \over T} \cdot d \right) + \sin \left( {2 \pi n \over T} \cdot \left( {T \over 2} - d \right ) \right) \right ] \right \} ={A_{max} T \over d \pi ^2 n^2} \left[ \sin\left( {2 \pi n d \over T} \right) + \sin \left( n\pi - {2 \pi n d \over T} \right) \right] \end{aligned} $$

由

$$ \sin \left( n\pi - {2 \pi n d \over T} \right) = \begin{cases} \sin\left( {2 \pi n d \over T} \right) \qquad \qquad &n=2N-1 \\[2ex] -\sin\left( {2 \pi n d \over T} \right) &n=2N \end{cases} $$

可得：

$$ b_n = \begin{cases} {2 A_{max} T \over d \pi ^2 n^2} \left[ \sin\left( {2 \pi n d \over T} \right) \right ] \qquad \qquad &n=2N-1 \\[2ex] 0 &n=2N \end{cases} $$

綜上所述，能夠獲得該梯形波在區間$\left[ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]$的傅里葉級數展開式爲：

$$ f(t)\sim\frac{4A_{max}}{\pi\omega d}\sum_{n=1}^{\infty}{\sin ( { (2n-1) \omega d }) \over (2n-1)^2} \cdot \sin((2n-1) \omega t) \qquad n=1,2,3,\cdots $$

其中：$\omega = {2 \pi \over T}$

脈衝波（偶函數）

如上圖所示，該脈衝波是一個週期爲T的偶函數，幅值爲$A_{max}$，脈衝寬度爲$\alpha T$，在區間$\left[ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]$的函數表達式爲：

$$ f(t)= \begin{cases} A_{max}, \quad &|t| \le { {\alpha T} \over 2} \\[2ex] 0, &|t| \gt { { {\alpha T} } \over 2} \end{cases}, \qquad - {T \over 2} \le t \le {T \over 2} $$

由奇偶性可知，該波形在區間$\left[ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]$的傅里葉級數展開式爲：

$$ f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left (\frac{2 {\pi} n t}{T} \right ) $$

其中傅里葉係數爲：

$$ a_n =\left\{\begin{aligned} &{2 \over T} \int_{-{T \over 2} }^{T \over 2} f(t) dt \qquad \qquad \qquad \qquad & n=0 \\[2ex] &\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t) \cdot \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt & n=1, 2,3, \cdots \end{aligned}\right. $$

將$f(t)$函數代入傅里葉係數表達式中，可得：

$$ \begin{aligned} a_0 &= {2 \alpha A_{max} } \\[2ex] a_n &={2 \over T} \int_{-{\alpha T \over 2} }^{\alpha T \over 2} A_{max} \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt = {4 \over T} \int_{0}^{\alpha T \over 2} A_{max} \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt\\[2ex] &= \left . {4 \over T} {A_{max} T \over 2 \pi n } \sin \left( {2 \pi n t \over T} \right) \right|_0^{\alpha T \over 2} ={2A_{max} \over n \pi} \sin (\alpha n \pi) \qquad \qquad \qquad \qquad n=1,2,3,\cdots \end{aligned} $$

所以，能夠獲得該梯形波在區間$\left [ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]$的傅里葉級數展開式爲：

$$ f(t) \sim \alpha A_{max} + {2A_{max} \over \pi} \sum _{n=1}^{\infty}{\sin (\alpha n \pi) \over n} \cos(n\omega t) \qquad n=1,2,3, \cdots $$

其中：$\omega = {2 \pi \over T}$

方波（奇函數）

同理，該方波在區間$\left [ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]$的傅里葉級數展開式爲：

$$ f(t) \sim {4A_{max} \over \pi} \sum_{n=1}^{\infty}{\sin((2n-1)\omega t) \over 2n-1} \qquad \qquad n=1,2,3,\cdots $$

其中：$\omega = {2 \pi \over T}$

三角波（奇函數）

同理，該三角波在區間$\left [ -{T \over 2}, {T \over 2} \right ]$的傅里葉級數展開式爲：

$$ f(t) \sim {8A_{max} \over \pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\sin((2n-1)\omega t) \over (2n-1)^2} \qquad n=1,2,3,\cdots $$

鋸齒波（非奇非偶函數）

該鋸齒波如上圖所示，在區間$[0, T]$的函數表達式爲：

$$ f(t)={A_{max} \over T}t \qquad \qquad 0 \le t \le T $$

因爲該函數爲非奇非偶函數，所以，該波形在區間$[0, T]$的傅里葉級數展開式爲：

$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left [a_n \cos \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) + b_n \sin \left (\frac{2 {\pi} nx}{T} \right ) \right ] $$

其中傅里葉係數爲：

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot \cos \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt \qquad \qquad & n=0, 1, 2, \cdots \\[2ex] b_n &= \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cdot \sin \left (\frac{2 {\pi} nt}{T} \right )dt & n=1, 2,3, \cdots \end{aligned} $$

將$f(t)$函數代入傅里葉係數表達式中，可得：

$$ \begin{aligned} a_0 &=A_{max} \\[2ex] a_n &= {2 \over T} \int_0^T{A_{max} \over T}t \cdot \cos \left( {2 \pi nt\over T} \right) dt \\[2ex] & = {2 \over T} {A_{max} \over T}{T \over 2 \pi n} \left . \left . \left[ t\sin \left({2\pi nt \over T}\right) \right|_0^T + {T \over 2 \pi n} \cos \left({2\pi nt \over T}\right) \right|_0^T \right] =0 \qquad &n=1,2,3,\cdots\\[2ex] b_n &= {2 \over T} \int_0^T{A_{max} \over T}t \cdot \sin \left( {2 \pi nt\over T} \right) dt \\[2ex] &= -{2 \over T} {A_{max} \over T}{T \over 2 \pi n} \left . \left . \left[ t\cos \left({2\pi nt \over T}\right) \right|_0^T - {T \over 2 \pi n}\sin \left({2\pi nt \over T}\right) \right|_0^T \right] =-{A_{max} \over n\pi} &n=1,2,3,\cdots \end{aligned} $$

所以，能夠獲得該鋸齒波在區間$[0,T]$的傅里葉級數展開式爲：

$$ f(t) \sim {A_{max} \over 2}-{A_{max} \over \pi} \sum_{n=1}^{\infty} {\sin(n \omega t) \over n} \qquad \qquad n=1,2,3,\cdots $$

結語

這裏僅僅列出了極小部分的波形的傅里葉級數展開式，對於其它波形，相似代入計算便可，給出公式以後，更多的是考驗數學積分計算了。

參考文獻

1. 維基百科編者. 傅里葉級數
2. 百度百科編者. 傅里葉級數
3. Fourier Series Examples