卡特蘭數 洛谷P1641 [SCOI2010]生成字符串

卡特蘭數

參考博客

介紹

卡特蘭數爲組合數學中的一種特殊數列，用於解決一類特殊問題

設\(f(n)\)爲卡特蘭數的第n項

其通項公式爲

\[f(n)=\frac{2n\choose n}{n+1} \]

關於它的證實

固然也有遞推式

\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(i)\ast f(n-i-1) \]

最經常使用的則是對於通項的變形式

\[f(n)={2n\choose n}-{2n\choose n-1} \]

在此給出一較易的證實

例題

咱們來看一道例題洛谷 p1641 生成字符串

比較模板的一道卡特蘭數的例題，用上面給出的公式能夠直接求解，咱們對本題建模，假設m=n,咱們創建一個

\(n*n\)的網格圖,把0看做向上走一個單位，把1看做向右走一個單位，咱們以\((0,0)\)爲起點，\((n,n)\)爲終點，

考慮到本題的限制，即在任意的前 k 個字符中，1 的個數不能少於 0 的個數，因此，每個合法的路

徑都不能越過該網格圖的對角線，設直線\(l\)爲將對角線向上平移一個單位所獲得的直線，全部通過

\(l\)的路徑都是非法路徑，咱們用全部路徑數減去非法路徑數就是合法的路徑數，設\(x\)爲一非法路徑與

直線\(l\)的交點，對該路徑\(x\)後的部分以\(l\)爲對稱軸對稱過去，咱們發現，全部非法路徑對稱後的

終點都爲\((n-1,n+1)\)由於全部的對稱後路徑與先前的非法路徑都是一一對應的，因此，非法路徑個數

就是對稱後路徑個數，因此，用全部路徑減去非法路徑就是合法路徑個

數，其實答案就是上面第三個公式。

對於\(m<=n\),一樣的思路，只不過非法路徑的終點與\(m=n\)不同了，只需

要求出對稱點，其他與上相同

若是不是很清楚,建議看一下第三個公式的證實的博客

代碼

具體求組合數採用盧卡斯定理

注意，在遇到須要取模後輸出的題目，算出的答案可能爲負數，因此就須要+mod後%mod，本題若是不這樣寫的話只有70分
.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=3e6+10;
const int p=20100403;
int n,m;
int a[maxn];
int power(int x,int t)
{
    if(x==0) return 0;
	x%=p;
    int b=1;
    while(t)
    {
        if(t&1) b=b*x%p;
        x=x*x%p; t>>=1;
    }
    return b;
}
int cm(int a1,int b1){
	if(a1<b1)
		return 0;
	return (a[a1]*power(a[b1],p-2)%p)*power(a[a1-b1],p-2)%p;
}
int lucas(int n,int m,int p){
	if(!m){
		return 1;
	}
	return cm(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m;
	a[0]=1;
	for(int i=1;i<=n+m+10;i++){
		a[i]=(a[i-1]*i)%p; 
	}
	int nn=m-1;
	int mm=n-nn+m;//(nn,mm)爲非法路徑的終點
	cout<<(lucas(n+m,n,p)-lucas(nn+mm,nn,p)+p)%p;
	return 0;
}