卡特蘭數

卡特蘭數是組合數據中一個常在各類計數問題中出現的數列，由比例時的數學家歐仁.查理.卡特蘭（1814-1894）命名。

C₀＝1而C₁＝1，C₂＝2，C₃＝5，C₄＝14，C₅＝42，C₆＝132，C₇＝429，C₈＝1430，C₉＝4862，C₁₀＝16796，C₁₁＝58786，C₁₂＝208012，C₁₃＝742900，C₁₄＝2674440，C₁₅＝9694845·········································

卡塔蘭數的通常項公式爲 

另外一個表達形式

知足遞推關係：

                      

它也知足

這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。

卡塔蘭數的漸近增加爲

它的含義是左式除以右式的商趨向於1當n → ∞。（這能夠用n!的斯特靈公式來證實。）

全部的奇卡塔蘭數C_n都知足n = 2^k − 1。全部其餘的卡塔蘭數都是偶數。

組合數學中有很是多組合結構能夠用卡特蘭數：

一、在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。如下用C_n=3和C_n=4舉若干例：

• Cn表示長度爲2n的dyck word的個數，Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字符串，且全部部分字符串均知足X的個數大於等於Y的個數。如下爲長度爲6的dyck words：

        XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• 將上例的X換成左括號，Y換成右括號，C_n表示全部包含n組括號的合法運算式的個數:
• C_n表示有n+1個葉子的二叉樹的個數。

        

• C_n表示全部不一樣構的含n個分枝結點的滿二叉樹的個數。（一個有根二叉樹是滿的當且僅當每一個結點都有兩個子樹或沒有子樹。）

證實：

令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化爲求一個2n位、含n個一、n個0的二進制數，知足從左往右掃描到任意一位時，通過的0數很少於1數。顯然含n個一、n個0的2n位二進制數共有個，下面考慮不知足要求的數目.

考慮一個含n個一、n個0的2n位二進制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證實必定存在這樣的狀況），則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其之後的部分0變成一、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進制數。反之亦然（類似的思路證實二者一一對應）。

從而。證畢。

一、一個棧(無窮大)的進棧序列爲1，2，3，…，n，有多少個不一樣的出棧序列?

相似：有2n我的排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n我的有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視做將5元入棧，持10元者到達視做使棧中某5元出棧)

二、對於一個n*n的正方形網格，每次咱們能向右或者向上移動一格，那麼從左下角到右上角的全部在副對角線右下方的路徑總數爲。咱們將一條水平邊記爲+1,垂直邊記爲-1,那麼就組成了一個n個+1和n個-1的序列，咱們所要保證的就是前k步中水平邊的個數不小於垂直邊的個數，換句話說前k個元素的和非負，就是咱們關於Catalan數的定義。

三、凸n+2邊形進行三角形分割（只鏈接頂點對造成n個三角形）數：

四、12個高矮不一樣的人,排成兩排,每排必須是從矮到高排列,並且第二排比對應的第一排的人高,問排列方式有多少種?

咱們先把這12我的從低到高排列,而後,選擇6我的排在第一排,那麼剩下的6個確定是在第二排.如何選？

用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.如何排？卡特蘭數。

五、C_n表示用n個長方形填充一個高度爲n的階梯狀圖形的方法個數。