數據結構與算法-堆

堆是一種特殊類型的二叉樹，具備如下兩個性質：

• 每一個節點的值大於等於(或小於等於)其每一個子節點的值
• 堆屬於徹底二叉樹

就像這樣：

上圖是大頂堆，若是每一個節點小於等於其每一個子節點的值，那它就是小頂堆。

有趣的是，堆能夠經過數組來實現。例如，數組 data = [50 43 49 15 28 40 30 5 10 23 15 20] 能夠表示上面的堆。數組中元素的排放順序表示節點按照從頂到底、每一層從左到右的順序放置。堆之因此能夠放到數組中，是由於它是一顆徹底二叉樹。能夠根據任意節點的下標，經過公式計算出子節點的下標。假設節點P的下標爲i，那麼節點P的左子節點下標爲2i + 1，右子節點下標爲2i + 2，相關證實過程能夠看這裏數據結構與算法-二叉樹性質。咱們這裏就以數組來實現堆結構，探討相關的建立、插入、刪除、運用的邏輯。

• 建立

堆的建立有兩種方式。第一種是自上向下從一個空數組中建立堆，第二種是自下向上將已有的數組調整爲堆。首先探討自上向下的邏輯。

一、自上向下

從一個空數組開始，每個新節點都放到當前堆的末尾，若是發現插入節點以後破壞了堆的特性，那麼將新節點與其父節點進行交換，直至從新調整爲堆。假如如今有一段數據流：

49 50 43 15 28 40 5 25 10 23 30 20 55

自上向下的過程：

核心邏輯在於每次插入新節點以後，若是破壞了堆的結構，只要和父節點進行交換，直至調整爲堆便可。該算法的時間複雜度有O(nlgn)，不是很理想，數據量比較大時不適合這種方案。

二、自下向上

一顆完整的二叉樹能夠分解成根節點，左子樹，右子樹。對於左右子樹又能夠分解成更多的子樹。若是咱們將樹中的每一個節點都看作一顆樹，只要每棵樹符合堆的特性，那麼整棵樹也是符合堆的特性的。基於以上思想，前人提出了一種自下向上的建立堆地方式。樹中最小的子樹實際上是葉子節點，因爲葉子節點沒有子樹，能夠認爲是符合堆的特性的。因此，咱們就從最後一個非葉子節點開始，按照從下向上，從右到左的順序，調整每一個子樹符合堆的特性，直到根節點，那麼整棵樹就成了堆。

假設一共有n的元素，最後一個非葉子節點的下標是多少呢？答案是n/2 -1。證實以下：

假設堆中度爲0、度爲一、度爲2的節點分別有n0、n一、n2個，那麼n = n0 + n1 + n2，又知道n0 = n2 +1，證實方式在數據結構與算法-二叉樹性質。那麼n = 2*n2 + n1 +1。

• n1若是爲0

那麼最後一個非葉子節點的下標爲n2 - 1，即(n - n1 - 1)/2 - 1= n/2 - 3/2，因爲n = 2*n2 + 1是奇數，因此n/2 - 1向下取整等於n/2 - 3/2。

• n1若是爲1

那麼最後一個非葉子節點的下標爲n2，即(n - n1 -1)/2 = n/2 - 1。

對於徹底二叉樹來說，n1要麼爲0要麼爲1。所以，綜上所述，最後一個非葉子節點的下標爲n/2 - 1。

既然找到了最後一個非葉子節點P，那就從P節點開始自下向上，自右向左的調整每個遇到的子樹爲堆，最終整棵樹成爲堆。

假設如今存在數組data = [39 50 43 15 28 40 5 25 10 23 30 20 55]，展開以後是這樣的：

按照自下向上的算法調整是這樣的：

該算法的時間複雜度是O(n)，一般狀況下優於自上向下建立堆的方式。

• 添加

在堆中插入一個新的元素，一般會放入到數組的末尾，若是插入到頭部或者中間某個位置，有兩個缺陷。第一，會移動數組裏大量數據，第二，嚴重破壞堆結構，只能依靠自下向上的方式調整全部子樹，才能保持整棵樹的堆結構，得不償失。

若是將新元素插入到數組末尾，僅僅有可能破壞少許子樹的堆結構，也能在短期內調整完畢。假若有如下堆結構：

在末尾插入60節點，調整方式以下：

能夠發現，不管是自上向下建立堆仍是自下向上調整堆，又或者在堆中插入新的元素，核心邏輯老是調整堆的過程。關鍵在於，二叉樹中每一個節點老是有兩個身份，既是某顆子樹(P子樹)的根節點，也是其父節點所在樹(Q子樹)的子節點。調整堆的過程其實就是既要保證P子樹是堆，也要保證Q子樹是堆。

• 刪除

在堆中刪除某個元素，一般咱們會刪除堆的根節點，由於它是有價值的，要麼是最大值要麼是最小值。爲了不刪除頭結點以後數組元素大量移動，前人想出一個巧妙的方式。那就是將最後一個葉子節點和根結點進行交換。最後一個葉子節點成了根節點，根節點成了最後一個葉子節點。這時，咱們刪除元素沒必要移動數組數據，可是破壞了堆結構，怎麼辦呢？老樣子，調整堆，調整方式和上面介紹的方法一致，就很少說了。

咱們固然能夠刪除數組中任一元素，方法和刪除根節點是一致的。可是，咱們每每不會這麼作，由於在堆中除了根節點，其餘元素沒有特別的地方，價值不大。

• 運用

咱們已經瞭解堆的建立、添加、刪除，那它有什麼用處呢？

答案是優先隊列。對於堆來講，新元素老是插入到數組末尾，被刪除元素老是根節點，而且要麼是最大的要麼是最小的，這不就是優先隊列嗎？在數據結構與算法-棧與隊列中，咱們推薦使用鏈表來實現隊列，這對於普通的隊列是能夠的，由於普通隊列保持的是數據插入時的次序。可是對於優先隊列就不合適了，數據插入到優先隊列以後，須要依靠優先級排序，從隊列彈出的數據老是優先級最大(最小)的元素。若是使用鏈表來實現優先隊列，操做複雜度是O(n)，可是若是使用數組，將數據按照堆結構排列，那麼操做複雜度僅僅有O(lgn)，這是很是吸引人的。而且，標準庫中的優先隊列就是以向量實現的。

堆的另一個運用是對數據進行排序，稱之爲堆排序。

算法邏輯很簡單，就是不停的刪除根節點、調整堆的過程。那麼，數據就會以從大到小或者從小到大的順序從堆中刪除。堆排序的操做複雜度有O(nlgn)，算不上很優秀，但至少比冒泡、插入這些算法要好用。

堆的內容到這裏已經探討完畢，更多內容就須要在實踐中摸索了。

數據結構與算法-kd二叉樹(基礎)