紅黑樹（一）：插入

　　紅黑樹跟AVL樹同樣，也是平衡二叉樹，其查找、增長、刪除效率爲O(lgN)，紅黑樹使用很是普遍，C++STL裏面的map,set都是用紅黑樹實現的。

　　如下就是一棵紅黑樹：

　　

　　《算法導論》上定義紅黑樹需知足如下五個性質：

　　1.每一個結點是黑色或是紅色。

　　2.根結點是黑色。

　　3.全部葉子節點是黑色（也就是上面Nil結點）

 　   4.若是一個節點是紅色的，則它的兩個子結點都是黑色的。（也就是說父子節點不能同時是紅色節點）

　　5.對每一個節點，從該結點到到葉子節點的路徑上，均包含相同數目的黑色節點。

　　須要說明一下的是，以上Nil結點是」哨兵節點「，將全部子節點爲空的指針都以此Nil節點來代替，並且根節點的父節點也是Nil節點。對於第五條，任一節點到Nil節點的黑色結點個數（包含自己及Nil節點）都相同，也就是所謂的黑高相同。

　　先來定義紅黑樹的節點，紅黑樹須要一個指示顏色的屬性，用一個位bool值來表示就能夠了，同時，紅黑樹還須要根據父節點的顏色來修復紅黑樹性質，所以須要指向父節點的指針。

1 struct RBTreeNode {
2     RBTreeNode* pParent;
3     RBTreeNode* pLeft;
4     RBTreeNode* pRight;
5     bool isRed;
6     int nData;
7 };

　　同時，定義紅黑樹的顏色值，以及Nil節點：

1 #define RBTreeNodeBlack false
2 #define RBTreeNodeRed true
3 #define RBTreeNodePtr RBTreeNode*
4 #define RBTreeNilNodePtr &RBTreeNilNode

　　本節討論紅黑樹的插入，由於紅黑樹也是二叉搜索樹，全部紅黑樹的插入也遵循二叉搜索樹插入的過程，只是最後爲了保證紅黑樹的性質，須要在插入後對樹進行修正，就像對AVL樹執行插入後再再平衡同樣。

　　先來考慮一個問題，新插入一個節點時，這個新插入的節點是用紅色的好仍是黑色好？根據紅黑樹性質5，每一個節點有相同黑高，若是將新插入節點的顏色設爲黑色，則樹會當即不知足紅黑樹性質，由於通過這個新插入節點的路徑其黑高都會比其它路徑多出一來，

　　因此，要將新插入的節點顏色設爲紅色，可是對於根節點是個例外。另外，當新插入一個紅色節點時，紅黑樹性質的123均可以獲得維持，只有可能破壞性質4和性質5，如下分幾種狀況來分別討論新節點插入。

　　（如下節點當其左右節點爲空時，都爲Nil節點，而且Nil節點算在節點的黑高裏面，此處爲了畫圖簡單並未將Nil節點畫）

　　約定新插入節點爲N，N的父節點爲P，N的祖父節點爲G,N的叔節點爲U。

　　1、樹爲空

　　　　這是最簡單的狀況，直接將新插入節點標爲黑色便可

　　　　

　　2、父節點是黑色

　　　　這是最簡單的狀況，這個時候，由於父節點是黑色，而新插入節點是紅色，全部新插入節點並無增長通過此節點的全部路徑黑高，依然知足紅黑樹全部性質，無需作修正處理。

　　　　（N爲右節點時也是同樣的）

　　3、父節點是紅色

　　　　當父節點是紅色時，破壞了紅黑樹的性質4，父子節點不能同時爲紅色，也正由於性質4，因此祖父節點必定是黑色，否則在插入前不知足紅黑樹性質4.而叔節點顏色可紅可黑對於叔節點顏色按照紅和黑兩種狀況來分開　　討論

　　一、當叔節點顏色是紅色時（N是左節點或右節點都適合此狀況）

　　

　　按上圖所示，這個時候，須要將P，U和顏色和G的顏色交換，便可從局部上修正了性質4，並保持性質5，可是這個時候G的顏色由黑變紅，可能G的父節點也是紅色， 這個時候，就要把G節點按照處理N結點的狀況再處理一次。也就是向上傳遞修復。

　　2.當U節點是黑色，且N是左節點時

　　

　　此時，先對G節點執行右旋轉操做（不熟悉旋轉操做的請看個人上一篇博客AVL樹，必定要很是熟悉旋轉操做才能理解紅黑樹），而後交換P，G節點的顏色，便可完成修復，本子樹根節點G修復前是黑色，修復後，新的子樹根節點P仍然是黑色，至此，修復完畢，無需向上傳遞。

　　3.當U節點是黑色，且N是右節點時

　　

　　由以上由與前一種狀況相比，惟一的區別是N是右子節點，因此先對P節點執行左旋轉，便可轉化成前一種討論過的狀況，而後按前一種狀況來處理便可。

　　好了，紅黑樹節點的全部狀況都在上面了，總的來看並不複雜，樹爲空和父節點爲黑色這兩種狀況很簡單，無需多言，至於下面的幾種狀況，總結起來就是，如何處理取決於U節點顏色

　　爲紅時則交換PU和G的顏色，而後再對G處理。

　　爲黑時分N爲左右節點情，爲左節點時右旋轉G，而後交換P與G的顏色，爲右子節點時先左旋轉P，而後再按左節點狀況進行處理。

　　紅黑樹插入代碼以下：（代碼中的狀況一二三四五，以圖中的（1）（2）（3）（4）（5）對照）

 1 RBTreeNode* RBTreeInsert(RBTreeNode* pRoot, int nData) {
 2     if (pRoot == RBTreeNilNodePtr) {
 3         pRoot = MakeNewRBTreeNode(RBTreeNilNodePtr, nData);
 4         pRoot->isRed = RBTreeNodeBlack;
 5         return pRoot;
 6     }
 7     RBTreeNode* pCursor = pRoot;
 8     RBTreeNode* pParent = pRoot->pParent;
 9     while (pCursor != RBTreeNilNodePtr) {
10         pParent = pCursor;
11         if (nData > pCursor->nData) {
12             pCursor = pCursor->pRight;
13         }
14         else if (nData < pCursor->nData) {
15             pCursor = pCursor->pLeft;
16         }
17         else 
18             break;
19     }
20     if (pCursor == RBTreeNilNodePtr && pParent != RBTreeNilNodePtr) {
21         RBTreeNode* pNode = MakeNewRBTreeNode(pParent, nData);
22         if (nData > pParent->nData)
23             pParent->pRight = pNode;
24         else
25             pParent->pLeft = pNode;
26 
27         FixRBTreeNodeColor_Insert(&pRoot, pNode);
28     }
29     return pRoot;
30 }
31 
32 void FixRBTreeNodeColor_Insert(RBTreeNode** pRoot, RBTreeNode* pNode) {
33     if (!pNode->isRed)
34         return;
35 
36     RBTreeNode* pParent = pNode->pParent;
37     if (pParent == RBTreeNilNodePtr) {
38         //第一種狀況
39         pNode->isRed = RBTreeNodeBlack;
40         return;
41     }
42     else if (!pParent->isRed || pParent->pParent == RBTreeNilNodePtr)//pParent->pParent == RBTreeNilNodePtr爲第二種狀況
43         return;
44     RBTreeNode* pGrandParent = pParent->pParent;
45     if (pParent == pGrandParent->pLeft) {
46         RBTreeNode* pUncle = pGrandParent->pRight;
47         if (pUncle != RBTreeNilNodePtr) {
48             if (pUncle->isRed) {
49                 //狀況3：不須要旋轉操做，直接交換顏色，而後往上遞歸檢查 
50                 pParent->isRed = pUncle->isRed = RBTreeNodeBlack;
51                 pGrandParent->isRed = RBTreeNodeRed;
52                 return FixRBTreeNodeColor_Insert(pRoot, pGrandParent);
53             }
54         }
55         if (pNode == pParent->pRight) {
56             //狀況5，先左旋pParent轉換成狀況4
57             RBTreeLeftRotate(pRoot, pParent);
58         }
59         //狀況4
60         pGrandParent = RBTreeRightRotate(pRoot, pGrandParent);
61         SwapRBTreeNodeColor(pGrandParent, pGrandParent->pRight);
62     }
63     else {
64         //上面if分支的鏡像
65         RBTreeNode* pUncle = pGrandParent->pLeft;
66         if (pUncle != RBTreeNilNodePtr) {
67             if (pUncle->isRed) {
68                 //狀況3：不須要旋轉操做，直接交換顏色，而後往上遞歸檢查 
69                 pParent->isRed = pUncle->isRed = RBTreeNodeBlack;
70                 pGrandParent->isRed = RBTreeNodeRed;
71                 return FixRBTreeNodeColor_Insert(pRoot, pGrandParent);
72             }
73         }
74         if (pNode == pParent->pLeft) {
75             //狀況5，先右旋pParent轉換成狀況4
76             RBTreeRightRotate(pRoot, pParent);
77         }
78         //狀況4
79         pGrandParent = RBTreeLeftRotate(pRoot, pGrandParent);
80         SwapRBTreeNodeColor(pGrandParent, pGrandParent->pLeft);
81     }
82 }