GAN的原理入門

開發者自述：我是這樣學習 GAN 的

from:https://www.leiphone.com/news/201707/1JEkcUZI1leAFq5L.html

Generative Adversarial Network，就是你們耳熟能詳的 GAN，由 Ian Goodfellow 首先提出，在這兩年更是深度學習中最熱門的東西，彷彿什麼東西都能由 GAN 作出來。我最近剛入門 GAN，看了些資料，作一些筆記。

1.Generation

什麼是生成（generation）？就是模型經過學習一些數據，而後生成相似的數據。讓機器看一些動物圖片，而後本身來產生動物的圖片，這就是生成。

之前就有不少能夠用來生成的技術了，好比 auto-encoder（自編碼器），結構以下圖：

你訓練一個 encoder，把 input 轉換成 code，而後訓練一個 decoder，把 code 轉換成一個 image，而後計算獲得的 image 和 input 之間的 MSE（mean square error），訓練完這個 model 以後，取出後半部分 NN Decoder，輸入一個隨機的 code，就能 generate 一個 image。

可是 auto-encoder 生成 image 的效果，固然看着很彆扭啦，一眼就能看出真假。因此後來還提出了好比VAE這樣的生成模型，我對此也不是很瞭解，在這就不細說。

上述的這些生成模型，其實有一個很是嚴重的弊端。好比 VAE，它生成的 image 是但願和 input 越類似越好，可是 model 是如何來衡量這個類似呢？model 會計算一個 loss，採用的大可能是 MSE，即每個像素上的均方差。loss 小真的表示類似嘛？

好比這兩張圖，第一張，咱們認爲是好的生成圖片，第二張是差的生成圖片，可是對於上述的 model 來講，這兩張圖片計算出來的 loss 是同樣大的，因此會認爲是同樣好的圖片。

這就是上述生成模型的弊端，用來衡量生成圖片好壞的標準並不能很好的完成想要實現的目的。因而就有了下面要講的 GAN。

2.GAN

大名鼎鼎的 GAN 是如何生成圖片的呢？首先你們都知道 GAN 有兩個網絡，一個是 generator，一個是 discriminator，從二人零和博弈中受啓發，經過兩個網絡互相對抗來達到最好的生成效果。流程以下：

主要流程相似上面這個圖。首先，有一個一代的 generator，它能生成一些不好的圖片，而後有一個一代的 discriminator，它能準確的把生成的圖片，和真實的圖片分類，簡而言之，這個 discriminator 就是一個二分類器，對生成的圖片輸出 0，對真實的圖片輸出 1。

接着，開始訓練出二代的 generator，它能生成稍好一點的圖片，可以讓一代的 discriminator 認爲這些生成的圖片是真實的圖片。而後會訓練出一個二代的 discriminator，它能準確的識別出真實的圖片，和二代 generator 生成的圖片。以此類推，會有三代，四代。。。n 代的 generator 和 discriminator，最後 discriminator 沒法分辨生成的圖片和真實圖片，這個網絡就擬合了。

這就是 GAN，運行過程就是這麼的簡單。這就結束了嘛？顯然沒有，下面還要介紹一下 GAN 的原理。

3.原理

首先咱們知道真實圖片集的分佈 P_data(x)，x 是一個真實圖片，能夠想象成一個向量，這個向量集合的分佈就是 P_data。咱們須要生成一些也在這個分佈內的圖片，若是直接就是這個分佈的話，怕是作不到的。

咱們如今有的 generator 生成的分佈能夠假設爲 P_G(x;θ)，這是一個由 θ 控制的分佈，θ 是這個分佈的參數（若是是高斯混合模型，那麼 θ 就是每一個高斯分佈的平均值和方差）

假設咱們在真實分佈中取出一些數據，{x¹, x², ... , x^m}，咱們想要計算一個似然 P_G(xⁱ; θ)。

對於這些數據，在生成模型中的似然就是

咱們想要最大化這個似然，等價於讓 generator 生成那些真實圖片的機率最大。這就變成了一個最大似然估計的問題了，咱們須要找到一個 θ* 來最大化這個似然。

尋找一個 θ* 來最大化這個似然，等價於最大化 log 似然。由於此時這 m 個數據，是從真實分佈中取的，因此也就約等於，真實分佈中的全部 x 在 P_G 分佈中的 log 似然的指望。

真實分佈中的全部 x 的指望，等價於求機率積分，因此能夠轉化成積分運算，由於減號後面的項和 θ 無關，因此添上以後仍是等價的。而後提出共有的項，括號內的反轉，max 變 min，就能夠轉化爲 KL divergence 的形式了，KL divergence 描述的是兩個機率分佈之間的差別。

因此最大化似然，讓 generator 最大機率的生成真實圖片，也就是要找一個 θ 讓 P_G 更接近於 P_data。

那如何來找這個最合理的 θ 呢？咱們能夠假設 P_G(x; θ) 是一個神經網絡。

首先隨機一個向量 z，經過 G(z)=x 這個網絡，生成圖片 x，那麼咱們如何比較兩個分佈是否類似呢？只要咱們取一組 sample z，這組 z 符合一個分佈，那麼經過網絡就能夠生成另外一個分佈 P_G，而後來比較與真實分佈 P_data。

你們都知道，神經網絡只要有非線性激活函數，就能夠去擬合任意的函數，那麼分佈也是同樣，因此能夠用一直正態分佈，或者高斯分佈，取樣去訓練一個神經網絡，學習到一個很複雜的分佈。

如何來找到更接近的分佈，這就是 GAN 的貢獻了。先給出 GAN 的公式：

這個式子的好處在於，固定 G，max  V(G,D) 就表示 P_G 和 P_data 之間的差別，而後要找一個最好的 G，讓這個最大值最小，也就是兩個分佈之間的差別最小。

表面上看這個的意思是，D 要讓這個式子儘量的大，也就是對於 x 是真實分佈中，D(x) 要接近與 1，對於 x 來自於生成的分佈，D(x) 要接近於 0，而後 G 要讓式子儘量的小，讓來自於生成分佈中的 x，D(x) 儘量的接近 1。

如今咱們先固定 G，來求解最優的 D：

對於一個給定的 x，獲得最優的 D 如上圖，範圍在 (0,1) 內，把最優的 D 帶入

能夠獲得：

JS divergence 是 KL divergence 的對稱平滑版本，表示了兩個分佈之間的差別，這個推導就代表了上面所說的，固定 G。

表示兩個分佈之間的差別，最小值是 -2log2，最大值爲 0。

如今咱們須要找個 G，來最小化

觀察上式，當 P_G(x)=P_data(x) 時，G 是最優的。

4.訓練

有了上面推導的基礎以後，咱們就能夠開始訓練 GAN 了。結合咱們開頭說的，兩個網絡交替訓練，咱們能夠在起初有一個 G₀ 和 D₀，先訓練 D₀ 找到 ：

而後固定 D₀ 開始訓練 G₀， 訓練的過程均可以使用 gradient descent，以此類推，訓練 D₁,G₁,D₂,G₂,...

可是這裏有個問題就是，你可能在 D₀* 的位置取到了：

而後更新 G₀ 爲 G₁，可能

了，可是並不保證會出現一個新的點 D₁* 使得

這樣更新 G 就沒達到它原來應該要的效果，以下圖所示：

避免上述狀況的方法就是更新 G 的時候，不要更新 G 太多。

知道了網絡的訓練順序，咱們還須要設定兩個 loss function，一個是 D 的 loss，一個是 G 的 loss。下面是整個 GAN 的訓練具體步驟：

上述步驟在機器學習和深度學習中也是很是常見，易於理解。

5.存在的問題

可是上面 G 的 loss function 仍是有一點小問題，下圖是兩個函數的圖像：

log(1-D(x)) 是咱們計算時 G 的 loss function，可是咱們發現，在 D(x) 接近於 0 的時候，這個函數十分平滑，梯度很是的小。這就會致使，在訓練的初期，G 想要騙過 D，變化十分的緩慢，而上面的函數，趨勢和下面的是同樣的，都是遞減的。可是它的優點是在 D(x) 接近 0 的時候，梯度很大，有利於訓練，在 D(x) 愈來愈大以後，梯度減少，這也很符合實際，在初期應該訓練速度更快，到後期速度減慢。

因此咱們把 G 的 loss function 修改成

這樣能夠提升訓練的速度。

還有一個問題，在其餘 paper 中提出，就是通過實驗發現，通過許屢次訓練，loss 一直都是平的，也就是

JS divergence 一直都是 log2，P_G 和 P_data 徹底沒有交集，可是實際上兩個分佈是有交集的，形成這個的緣由是由於，咱們沒法真正計算指望和積分，只能使用 sample 的方法，若是訓練的過擬合了，D 仍是可以徹底把兩部分的點分開，以下圖：

對於這個問題，咱們是否應該讓 D 變得弱一點，減弱它的分類能力，可是從理論上講，爲了讓它可以有效的區分真假圖片，咱們又但願它可以 powerful，因此這裏就產生了矛盾。

還有可能的緣由是，雖然兩個分佈都是高維的，可是兩個分佈都十分的窄，可能交集至關小，這樣也會致使 JS divergence 算出來 =log2，約等於沒有交集。

解決的一些方法，有添加噪聲，讓兩個分佈變得更寬，可能能夠增大它們的交集，這樣 JS divergence 就能夠計算，可是隨着時間變化，噪聲須要逐漸變小。

還有一個問題叫 Mode Collapse，以下圖：

這個圖的意思是，data 的分佈是一個雙峯的，可是學習到的生成分佈卻只有單峯，咱們能夠看到模型學到的數據，可是殊不知道它沒有學到的分佈。

形成這個狀況的緣由是，KL divergence 裏的兩個分佈寫反了

這個圖很清楚的顯示了，若是是第一個 KL divergence 的寫法，爲了防止出現無窮大，因此有 P_data 出現的地方都必需要有 P_G 覆蓋，就不會出現 Mode Collapse。

6.參考

這是對 GAN 入門學習作的一些筆記和理解，後來太懶了，不想打公式了，主要是參考了李宏毅老師的視頻：

http://t.cn/RKXQOV0