總結與心得（持續更新） Tony's Tour 簡單題 A simple rmq problem 最小圈 tree 荷馬史詩 泡泡堂BNB

不知道爲何，剛學的算法過了2個月就忘得一乾二淨，我並無背代碼啊，當時學的時候還刷了好多題來着→_→，我是否是大腦能力嚴重衰退了。

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動態規劃

單調隊列

　　通常狀況下，${dp}$方程能夠搞成這樣：${f_i=f_j+t_j+t_i}$，只要其中沒有變量同時與${i,j}$都有關，那麼咱們能夠用單調隊列來作，單調隊列裏面元素的關鍵字就是與${j}$有關的東西${f_j+t_j}$。example：生產產品

　　有些比較特殊的，雖然存在同時與${i,j}$相關的函數，可是這個函數比較簡單，使得已經存在在單調隊列中元素的相對位置不會所以改變，這樣的話咱們能夠打一個全局標記來處理。example：瑰麗的華爾茲

　　還有一些比較奇葩的，這已經不屬於單調隊列優化dp的範疇了。example：cut the sequence

斜率優化

　　想當年我還寫過學習筆記，如今毛都不記得了T_T，斜率優化學習筆記。反正套路都差很少，不過我仍是更喜歡從函數的角度去理解斜率優化。

　　斜率單調。example：特別行動隊

　　斜率不單調。example：購票

　　橫座標不單調。example：貨幣兌換

狀壓dp

　　插頭。插頭仍是挺簡單的，就是一個板子，隨着題目的變化稍微修改一下就好。example：Tony's Tour

　　容斥套着，到了考場也不知道會不會作 ╮(╯_╰)╭。example：局部極小值

數位dp

　　寫成記憶化搜索的形式會好不少，注意該開LL的時候開LL。example：Balanced Number

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樹

prufer

　　prufer序列中每一個數出現的次數就是它在樹中的度數-1。example：明明的煩惱

　　常常用來作樹的計數一類dp。

樹分治

　　點分治。關鍵是對答案的統計用什麼算法和數據結構進行處理。example：Tree

　　有的時候，必定要當心的就是掃把型的樹，若是不對子樹進行排序，很容易就會被卡掉。example：重建計劃

　　動態樹分治。沒什麼好說的，也許我沒作過什麼題。example：開店

　　樹上CDQ。example：購票

樹鏈剖分　　

　　樹鏈剖分的性質（一個點到根節點的路徑上的輕變不超過$log$條）可能有些奇技淫巧。

　　最簡單的維護樹上路徑修改查詢。example：軟件包管理器

　　dsu on tree。其實就是樹鏈剖分維護啓發式合併，在某些狀況下特別好寫= =。example：每天愛跑步

　　長鏈剖分維護合併跟深度有關的信息。複雜度證實：每次合併的次數是這個節點連出的輕邊的點所在的重鏈的大小，那麼每條重鏈最多隻會被記錄一次，因此總合並次數是$O(n)$。據說還能$O(n)$求lca。example：坑着

虛樹

　　虛樹就是隻含有查詢點以及它們lca的點的樹，每每與樹形dp一同食用。虛樹的題目每每其詢問點的總數不會超過某個值，必需要知足在虛樹上dp能夠下降複雜度。教程？

　　example：世界樹

Link Cut Tree

　　link的實質是找到父親，cut時換根是爲了搞清楚兩點之間的父子關係。帶邊權的換成點。example：魔法森林

　　LCT維護可加減子樹信息，若是不是可加減的就只能toptree了。注意在輕重邊替換的時候同時更新信息。example：共價大爺遊長沙

　　ntr的妙用= =。example：CC某題

　　一類問題的通用解法，分類維護前綴信息和後綴信息。example：城市旅行

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數據結構

KDtree

　　能不寫最好仍是不要寫吧，輕鬆被卡→_→，也許能夠出奇制勝？若是要寫，從新構樹是個不錯的選擇。發現大數據跑不過，多半是剪枝掛了。

　　平面上最近（最遠）點對。example：SJY擺棋子

　　範圍內點權查詢，暴力重構。example：簡單題

　　神應用，怒艹一類數據結構題。example：A simple rmq problem

Splay

　　扣區間$[l,r]$的時候，把$l+1$Splay到根，$r+1$Splay到根的右兒子，然而加了「哨兵」，其實是$l$和$r$。

　　rotate和Splay記得要加取地址符。

　　對區間操做完後記得pushup父親和根，pushup的時候size記得+1啊啊啊。

　　example：維護數列

ST表

　　好像沒什麼好說的，一些細節想清楚就行了= =。example：超級鋼琴

treap

　　比Splay好寫一些樹套樹方便一些能夠持久化。思想仍是蠻簡單的，隨機一個權值保證logn的指望樹高。

　　非旋轉版如今還策不清，若是真的考了可持久化treap那我仍是早早棄療吧=  =。example：普通平衡樹

分塊

　　一般用來優化暴力。

　　樹上分塊。example：王室聯邦

　　權值分塊。example：dispatching

　　優化暴力。example：最小公倍數

　　數據有一些特點的，能夠分兩類：$ > \sqrt{n}$和$ < \sqrt{n}$，分別處理與複雜度分析，而後基本不等式搞一搞取最優塊大小。好像沒有什麼好的例子。。example：普通計算姬

可並堆

　　好寫好調好理解，代碼簡短。example：disoatching

鏈表

　　雙向鏈表大法好。example：營業額統計

啓發式合併

　　把size小的往size大的裏面丟，合併次數$logn$。example：森林

　　貌似寫過的啓發式合併都是直接set了=。=

樹套樹

　　二維線段樹。example：魔幻棋盤

　　線段樹套treap。example：二逼平衡樹

樹狀數組

　　區間修改。example：poj某題

線段樹

　　呵呵，線段樹上各類耍雜技=  =。

　　維護連通性。example：堵塞的交通

　　掃描線結合。example：Picture

　　二維線段樹。單點修改矩形查詢，example：魔幻棋盤；矩形修改單點查詢；能夠直接標記可持久化，example：樹狀數組

　　蜜汁思路。example：基礎數據結構練習題

　　線段樹合併。example：CF 666E

　　超哥線段樹。example：robot

　　區間取最值操做。example：hdu某題

　　歷史最值查詢。example：CPU監控

　　還有個勁(j)爆(b)玩意兒如今都還不懂。example：CF某題

主席樹

　　ntr的妙用=  =。example：CC某題

　　優化網絡流連邊。example：a+b problem

　　可持久化數組。example：可持久化並查集

　　樹狀數組套主席樹。實際上是樹狀數組套權值線段樹=  =。

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數學

BSGS

　　用來求解$a^x=b~(mod~p)$，所謂大步小步。可能出現無解的狀況。example：板子題

多項式乘法

　　注意數組大小，以及最後除一個$n$。循環卷積注意細節變更。轉成整型的時候不要爆了int。板子一套：多項式乘法

　　求解字符串匹配問題。example：萬徑人蹤滅

　　預處理$ω$增強精度，任意模數FFT，倍增優化dp。所謂倍增優化，就是$f_i$能夠由$f_x$和$f_y$推過來（$x+y=i$）。example：CF某題

　　離散對數NTT，循環卷積，求解原根，倍增優化dp。

　　所謂循環卷積，就是在DFT回來統計答案的時候，除了加上對應位置$x$上的卷積結果，還要再加上$x+m-1$位置上的卷積結果。example：序列統計

博弈論

　　當前局面的SG等於後繼狀態的SG的$mex$，當前遊戲的SG等於各個子游戲的SG狀態的$xor$。大都是腦洞題，考場上只能看人品了。。

　　求解SG函數。example：江南樂

　　暴力求解SG，找規律。example：S-NIM

高斯消元

　　模意義高斯消元，其實就是除的時候乘個逆元。example：SETI

　　線性基相關。example：XOR

　　線性基性質。線性基中每個能夠被異或出來的元素的異或方案數相同（包括0）。example：albus就是要第一個出場

　　動態構造線性基。example：元素

數學相關dp和組合計數

　　多推推式子轉化一下問題，從不可作變成可作。組合數公式的話大概用格點法推一推？$\displaystyle \binum{n}{m}$表示從$(0,0)$走到$(n-m,m)$的方案。

　　dp指望或者dp機率經過幾率算指望。example：亞瑟王

　　精度要求不高的，能夠估算一下計算的次數。example：CF坦克大戰

　　異或相關dp的正確AC姿式，雖然沒有什麼普適性。example：Lights

　　二進制相關dp的正確AC姿式。通常先考慮排列方案最後再除個階乘會好不少。轉移的時候考慮到相等的狀況，須要容斥一發。example：facer's chocolate dream

莫比烏斯反演

　　$mu[i]$，若是i的某個質因子指數大於$1$，$mu[i]=0$；不然，$mu[i]=(-1)^{i的質因子個數}$

　　推式子的時候必定要當心，把一些東西提早的時候不要忘記乘或者除了個什麼東西。

　　$\lfloor n/i \rfloor$，取值相同的$i$的範圍爲$[i,n/(\lfloor n/i \rfloor)]$。

　　用來容斥，很棒棒哦。example：徹底平方數

　　約數個數有一個比較經典的式子。example：約數個數和

　　線性篩約數和。離線處理約束條件。example：數表

歐拉函數

　　在線求歐拉函數。example：Longge的問題

　　一個公式。example：Robot

　　當$n>2$，$φ(n)$是偶數。example：上帝與集合的正確使用方法

置換

　　Burnside：對於一個置換$f$，若存在一個着色方案$s$通過置換後不變，稱$s$爲$f$的不動點，等價類數目爲全部置換的不動點的平均值。example：Cards

　　Polya：假設能夠有$k$種顏色，那麼一個置換$f$的循環內的元素的顏色必須相同，等價類的數目爲全部置換的$k^{循環個數}$的平均值。example：Let it bead

　　一個是對染色方案考慮，另外一個是直接對置換考慮。

數論大合集

　　費馬小定理優化矩陣乘法。example：矩陣遊戲

　　Lucas，費馬小定理，中國剩餘定理。example：古代豬文

　　Lucas用的時候要注意特判$m=0$，同時組合數記得特判$n<m$。模數不是質數的Lucas，就用古代豬文中的方法，分解質因數而後CRT合併。

　　exgcd和CRT最好仍是用LL運算，否則怎麼掛的都不知道=。=

　　暴力容斥。example：跳蚤

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字符串

AC自動機

　　沒啥好說的。。。板子題：阿狸的打字機

HASH

　　也沒啥好說的。。板子題：火星人

KMP

　　仍是沒啥好說的。。可能會有奇技淫巧吧。板子題：動物園

manacher

　　我已經不記得了。板子題：不知名

trie

　　異或貪心相關。example：poj某題

　　trie樹合併，跟線段樹合併差很少。example：Alice和Bob又在玩遊戲

後綴數組

　　基本的論文二分答案+按照height分組的思想。example：milk patterns

　　單調棧。example：CS

　　後綴自動機求後綴樹組。example：板子題

　　雙向鏈表。example：生成魔咒

　　分割點。example：mrs

後綴自動機

　　

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思想

CDQ分治

　　看起來很強可是很simple的一個玩意兒。

　　CDQ圖分治。example：城市建設

　　CDQ上樹+維護斜率優化dp。example：購票（這題出現頻率真高=  =）

　　一道還不錯的題。example：共點圓

　　四維偏序。example：偏序

倍增

　　沒啥好說的，注意邊界細節。

　　神題一道。example：會議中心

　　倍增優化dp，相似快速冪。example：序列統計

莫隊算法

　　莫隊仍是挺靈活的，各類升級版本都有=  =。

　　樹上莫隊。example：糖果公園

　　在線莫隊。其實就是預處理出來n個詢問，而後每次讀入的詢問暴力移左右端點。example：坑

　　江隊。只有插入或者刪除的莫隊。example：坑

　　總之在考場上應該也能YY出來吧，必定要注意常數啊，一個小小的細節可能就葬送AC=。=

平面圖與對偶圖

　　優化網絡流。example：海拔

　　摳域和點定位。example：平面圖（話說看這毒瘤題真的大丈夫？=  =）

總體二分

　　沒啥好說的。example：接水果

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小技巧

　　差分求解區間gcd。example：魔幻棋盤

　　當答案是這種$ans=a/b$的形式，二分答案是個不錯的選擇。example：最小圈

　　二分$delta$。example：tree

　　兩個燻肉貪心題。哈夫曼；example：荷馬史詩。田忌賽馬；example：泡泡堂BNB

　　圖的hash（話說這真的叫hash嗎，反正王隊長這麼說那我就跟風了=。=）。example：DZY loves Chinese

　　弦圖。話說這玩意兒真的會考嗎。example：神奇的國度

　　$O(1)$黑科技double快速乘。若是沒記住仍是龜速乘吧，寫錯一點都會GG。example：隨機數生成器