【FCS NOI2018】福建省冬摸魚筆記 day6【FJOI 2018】福建省選混分滾蛋記 day1

記錄一下day6發生的事情吧。

7:30

到達附中求索碑，被人膜，掉RP。

7:50

進考場，6樓的最後一排的最左邊的位置，世界上最角落的地方，沒有任何想法。

發現電腦時間和別人不同，趕快調了一下。

8:00

等待發題。

8:03

題發了，爲何要遲發呢。=)

8:05-9:30

左思右想T1什麼鬼東西。中間看了看T2T3是啥。

9:30-10:30

對T3的水震驚之餘，把T3切掉了，順便在准考證背面寫了題解，準備給同窗看看，以便帶出去交流。

10:50-12:00

思考T2騙分，T2又是DNA序列，思考爲何FJ不建一個全國基因研究庫，就開在FCS裏面，專門研究不相交DNA序列反轉和兩個DNA的最近公共祖先的長度呢？

最終仍是輸出了-1。233333

12:00-13:00

和@qrc交流T3，和其餘人講T3怎麼作，期盼本身能ACT3。

13:00-18:30

機房划水，TR災厄坑有了很大的進展，見識了克蘇魯之眼的狂暴形態。（？？？）

看了成績，穩穩110，和nealchen並列FJ No.12，很是的舒服。

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說說題解吧，也只會T3了

【T3】

題意：有n個城市，每一個城市都有p個出入口，第\(i\)個城市的第\(j\)個出口有\(U_{i,j}\)條路徑，入口有\(V_{i,j}\)條路徑，從一個城市的第\(j\)出口出去，也要在另外一個城市的第\(j\)入口進入才行。

那麼，請你求出通過不超過k條路徑的，從S旅行到T的方案數吧，雖然城市的圖是同樣的，可是有多組詢問哦。

數據範圍：\(1\leq n\leq 1000,1\leq p\leq 20,0\leq k\leq 10^{18}\)。

題解：觀察到圖的鄰接矩陣是乘積的形式：\(A_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}U_{i,p}\cdot V_{j,p}=\sum_{k=1}^{p}U_{i,p}\cdot V^{T}_{p,j}=U\cdot V^T\)，準確的說，是矩陣乘積的形式！

這給接下來的解題提供了提示。

那麼咱們要求出\(Sum=A^0+A^1+\cdots+A^k\)，準確的說，要求出\(Sum_{S,T}\)，這裏的\(Sum\)是一個矩陣哦。

若是直接計算，矩陣乘法都會TLE。

那麼咱們化簡：

\(Sum=I+U\cdot V^T+U\cdot V^T\cdot U\cdot V^T+\cdots+(U\times V^T)^k\)

\(Sum=I+U\cdot(I+V^T\cdot U+(V^T\cdot U)^2+\cdots+(V^T\cdot U)^{k-1})\cdot V^T\)

恐怖的式子，對吧。可是咱們完成了很重要的一步，注意到了嗎：\(V^T\cdot U\)是一個\(p\times p\)的矩陣，這說明了矩陣乘法變得更快了！

用以往的技巧，構造\(2p\times 2p\)的矩陣，能夠記錄前綴和。

把這個矩陣的1,2,4,8,16...次冪記錄下來，就能夠直接快速求得任意次冪了。注意加上稀疏矩陣優化。

最終，前乘\(U\)，後乘\(V^T\)，再加上單位矩陣，就獲得答案。

最後的小優化：由於求得是\(Sum_{S,T}\)，只要一個元素，能夠更快求出來，不用求出整個\(Sum\)。

那麼這題就算作完了。