最小生成樹（）

生成樹的概念

        

        在一個任意連通圖G中，若是取它的所有頂點和一部分邊構成一個子圖G'，即：V（G'）=V（G）和E（G'）⊆E（G）

        若同時知足邊集E（G'）中的全部邊既可以使所有頂點連通而又不造成任何迴路，則稱子圖G'是原圖G的一棵生成樹。

        下面簡單說明一下，在既可以連通圖G中的所有n個頂點又沒有造成迴路的子圖G'（即生成樹）中，一定包含n-1條邊。要構造子圖G'，首先從圖G中任取一個頂點加入G'中，此時G'中只有一個頂點，假定具備一個頂點的圖是連通的，之後每向G'中加入一個頂點，都要加入以該頂點爲一個端點（終點），以已連通的頂點之中的任一個頂點爲開始頂點的一條邊，這樣既連通了該頂點又不會產生迴路，進行n-1次後，就向G'中加入了n-1個頂點和n-1條邊，使得G'中的n個頂點既連通又不產生迴路。

       在圖G的一棵生成樹G'中，若再增長一條邊，就會出現一條迴路。這是由於此邊的兩個端點已連通，再加入此邊後，這兩個端點間有兩條路徑，所以就造成了一條迴路，子圖G'也就再也不是生成樹了。一樣，若從生成樹G'中刪去一條邊，就使得G'變爲非連通圖。這是由於此邊的兩個端點是靠此邊惟一連通的，刪除此邊後，一定使這兩個端點分屬於兩個連通份量中，使G'變成了具備兩個兩通份量的非連通圖。

        同一個連通圖能夠有不一樣的生成樹。例如對於圖9-1（a），其他3個子圖都是它的生成樹。在每棵生成樹中都包含8個頂點和7條邊，即n個頂點和n-1條邊，此時n等於原圖中的頂點數8，它們的差異只是邊的選取方法不一樣。

       在這3棵生成樹中，圖9-1（b）中的邊集是從圖9-1（a）中的頂點V0出發，利用深度優先搜索遍歷的方法而獲得的邊集，此圖是原圖的深度優先生成樹；圖9-1（c）中的邊集是從圖9-1（a）中的頂點V0出發，利用廣度優先搜索遍歷的方法而獲得的邊集，此圖是原圖的廣度優先生成樹；圖9-1（d）是原圖的任意一棵生成樹。固然圖9-1（a）的生成樹遠不止這3種，只要能連通全部頂點而又不產生迴路的任何子圖都是它的生成樹。

       

       對於一個連通網（即連通帶權圖，假定每條邊上的權值均爲正實數）來講，生成樹不一樣，每棵樹的權（即樹中全部邊上的權值總和）也可能不一樣。圖9-2（a）就是一個連通網，圖9-2（b）、（c）和（d）是它的3棵生成樹，每棵樹的權各不相同。它們分別爲5七、53和38.具備權值最小的生成樹被稱爲圖的最小生成樹。經過後面將要介紹的構造最小生成樹的方法可知，圖9-2（d）是圖9-2（a）的最小生成樹。

 

 

最小生成樹是在一個給定的無向圖G（V,E）中求一棵樹T

使得這棵樹擁有圖G中的全部頂點

且全部邊都是來自圖G中的邊

而且知足整棵樹的邊權之和最小

【性質】

① 最小生成樹是樹，所以其邊數等於頂點數減1，且樹中必定不會有環

②對給定的圖G但其（V,E），其最小生成樹能夠不惟一，但其邊權之和必定是惟一的

③因爲最小生成樹是在無向圖上生成的，所以其根結點能夠是這棵樹上的任何一個結點

通常求解最小生成樹有兩種算法

即prim算法和kruskal算法