【題解】Luogu P5468 [NOI2019]回家路線

原題傳送門

前置芝士：斜率優化 不會的能夠去杜神博客學

這道題我考場上只會拆點跑最短路的70pts作法

後來回家後發現錯誤的爆搜都能拿滿分（刀片）

還有不少人\(O(mt)\)過的，仍是要堅持寫正解好很差

咱們先考慮\(O(mt)\)的暴力dp，先不考慮總時間對煩躁值的影響，設\(dp[id]\)表示走完第\(id\)條邊最小的代價：

\[dp[id]=Min(dp[j]+A(p_{id}-q_j)^2+B(p_{id}-q_j)+C)(id,j \in [1,m],q_j<=p_{id},v[j]=u[id])\]

看着這個方程有平方項考慮展開，展開後會發現能轉化成斜率優化標準形式

\[dp[j]+Aq_j^2-Bq_j=2Ap_iq_j+dp[i]-Ap_i^2-Bp_i-C\]

其中\(y=dp[j]+Aq_j^2-Bq_j,k=2Ap_i,x=q_j,b=dp[i]-Ap_i^2-Bp_i-C\)

每條邊進出一次隊列，因此複雜度爲\(O(m)\)

完整代碼

#include <bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define ll long long
#define db double
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
inline int Max(register int a,register int b)
{
    return a>b?a:b;
}
inline ll Min(register ll a,register ll b)
{
    return a<b?a:b;
}
struct node{
    ll x,y;
    int id;
};
int n,m,A,B,C,maxT=0;
int x[N],y[N],p[N],q[N],head[N];
ll ans=1926081700000000ll,dp[N];
vector<int> d[1005];
vector<node>que[N];
queue<int> res[1005];
inline db gslope(register node a,register node b)
{
    return 1.0*(a.y-b.y)/(1.0*(a.x-b.x));
}
inline void ins(register int id)
{
    int pos=y[id];
    node now=(node){q[id],dp[id]+A*q[id]*q[id]-B*q[id],id};
    while(que[pos].size()-head[pos]>=2)
    {
        int len=que[pos].size();
        if(gslope(que[pos][len-1],que[pos][len-2])<gslope(que[pos][len-2],now))
            break;
        que[pos].pop_back();
    }
    que[pos].push_back(now);
}
inline void del(register db slpe,register int pos)
{
    while(que[pos].size()-head[pos]>=2)
    {
        if(gslope(que[pos][head[pos]],que[pos][head[pos]+1])>slpe)
            return;
        ++head[pos];
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),A=read(),B=read(),C=read();
    for(register int i=1;i<=m;++i)
        x[i]=read(),y[i]=read(),p[i]=read(),q[i]=read(),maxT=Max(maxT,q[i]);
    for(register int i=1;i<=m;++i)
        d[p[i]].push_back(i);
    que[1].push_back((node){0,0,0});
    for(register int t=0;t<=maxT;++t)
    {
        while(!res[t].empty())
            ins(res[t].front()),res[t].pop();
        int len=d[t].size();
        for(register int k=0;k<len;++k)
        {
            int id=d[t][k];
            int pos=x[id];
            if(que[pos].size()==head[pos])
                continue;
            db slpe=2.0*A*p[id];
            del(slpe,pos);
            int j=que[pos][head[pos]].id;
            dp[id]=dp[j]+1ll*A*(p[id]-q[j])*(p[id]-q[j])+1ll*B*(p[id]-q[j])+C;
            res[q[id]].push(id);
            if(y[id]==n)
                ans=Min(ans,dp[id]+q[id]);
        }
    }
    write(ans);
    return 0;
}