【百度之星2014~複賽）解題報告】The Query on the Tree

聲明

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前言

這幾天把畢業答辯的事弄完了，因而買票出來玩，結果週六是百度之星的複賽，因而我就沒有辦法來作比賽了，不過看了看題，目測能夠過我兩三道題．

今天已是比賽的次日了，我還一直沒有時間來A掉這些題，今晚抽空先把最簡單的線段樹那道題A了再說．

 

正文

題意

題目說的很清楚了，本身看吧．

 

有一棵樹，樹的每一個點有點權，每次有三種操做：
　　1. Query x 表示查詢以x爲根的子樹的權值和。
　　2. Change x y 表示把x點的權值改成y(0<=y<=100)。
　　3. Root x 表示把x變爲根。

分析

 

這道題的數據起始很弱的．

我最初的想法就能夠把這道題過掉．

 

最初的想法

 

首先對這個樹按1爲根dfs根優先編號，這個應該沒有什麼疑問．

編號的好處是一個子樹變爲了一個連續的區間．

編號的時候保存一下這個子樹的編號區間，保存在子樹的根上．

編號的時候順便計算一會兒樹的權值和．

編號的時候記錄一下一個節點的父節點．

 

修改操做

 

先說說修改操做，修改某個節點時，就算出這個節點應該增長多少，而後從這個節點開始更新，一直更新到根１．

平均複雜度　O( log(n) )

最壞複雜度　O( n )

 

設置根

 

這裏咱們須要一個變量來表示目前的根是那個節點，好比使用root變量，默認值是１．

設置根只須要把根變量更新一下便可．

平均複雜度　O( 1 )

最壞複雜度　O( 1 )

 

查詢操做

查詢的時候分三種狀況：

１．查詢的節點是目前的根　

這個時候答案顯然是整個樹的權值和，返回　根１的權值和便可．

 

２．目前的根不是查詢的節點的某個子孫(即根不在查詢的子樹裏面)

這個時候，答案和根是１的狀況相同，及直接返回查詢節點的權值和便可．

怎麼判斷根是否是查詢節點的子孫呢？

日常的方法是用　LCA 查詢，這裏我直接使用子樹區間來判斷便可．

 

３．目前的根是查詢節點的某個子孫．

這個時候，咱們想象一下，咱們拿起根，查詢節點的子孫有那些呢？

即那些會在查詢節點的下面呢？

假設查詢節點是　x, 　x的一個兒子是y, 根是y的一個子孫(也多是y).

這個時候，咱們拿起根，x　應該變成　y 的兒子了吧．

這時樹的權值應該是　x 原先的權值和　－　y 節點的權值和　＋　不在x子樹區間的全職和．

而後，咱們能夠發現　x 原先的權值和　＋　不在x子樹區間的權值和　＝　整個樹的權值和．

故最終答案是　整個樹的權值和　－　y節點的權值和．

 

問題：怎麼找到y節點．

有兩個方法：

１．枚舉x的兒子來判斷

２．從根不斷的找父親來判斷．

因爲題意沒有說最多兒子有多少個，因此第一個方法最壞狀況下爲　O( n ) （不少兒子）

對應的，第二個方法最壞狀況下也是　O( n )　(樹退化爲鏈表).

 

不過咱們不用管最壞狀況，先這樣實現了再說．

 

綜合操做複雜度：log(n)

 

線段數優化

首先對於修改操做，線段樹優化後可使最壞狀況達到　O( log( n ) ).

對於查詢操做，因爲須要知道　x 的那個兒子　y, 這個我目前沒有想到　O( log( n ) ) 的方法．

學弟說那隻能使用二分了．

可是怎麼二分呢？

發現二分不了，不過可使用隨機算法來優化找兒子的效率．

起初咱們是遍歷x的全部兒子，這裏咱們隨機挑一個兒子來尋找．這也算是一個比較好的優化方法吧．

 

 

代碼

暴力版代碼　https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.2.cpp(比較簡潔)

線段樹優化版代碼　https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.cpp

對於上面說的幾個方法我只實現了兩個，其餘的都很簡單，有興趣的朋友能夠嘗試一下．

 

參考

http://blog.csdn.net/hongrock/article/details/27839237(這個參考主要用於確認暴力不會超時，若是精心構造數據，這個方法會超時的)