【百度之星2014~複賽 解題報告~正解】The Query on the Tree

聲明

   筆者最近意外的發現 筆者的我的網站 http://tiankonguse.com/ 的不少文章被其它網站轉載，可是轉載時未聲明文章來源或參考自 http://tiankonguse.com/ 網站，所以，筆者添加此條聲明。

    鄭重聲明：這篇記錄《【百度之星2014~複賽 解題報告~正解】The Query on the Tree》轉載自 http://tiankonguse.com/的這條記錄：http://tiankonguse.com/record/record.php?id=674

 

前言

昨天寫了　The Query on the Tree　的解題報告，可是遺留下一個問題，不能算是完美解決這道題．

由於若是精心構造數據的話，昨天的題解仍是會被卡住的．

今天中午睡覺的時候忽然想起一個不會被卡住的方法．

可是因爲早上玩了一會相似與寵物消消的弱智遊戲，因而怎麼也停不下來了．

一個下午的時光也浪費在了這個弱智遊戲上．

到了晚上，手機終於沒電了，因而來寫寫這道題的完美解決方法．

這樣不管怎麼構造數據，tiankonguse都不用擔憂程序超時了．

 

正文

 

題意

 

　　有一棵樹，樹的每一個點有點權，每次有三種操做：
　　1. Query x 表示查詢以x爲根的子樹的權值和。
　　2. Change x y 表示把x點的權值改成y(0<=y<=100)。
　　3. Root x 表示把x變爲根。
　　如今度度熊想請更聰明的你幫助解決這個問題。

 

背景

 

 

這篇記錄和昨天那一篇緊密相連，建議看看那個記錄．

傳送門（http://tiankonguse.com/record/record.php?id=673）

 

背景簡述

 

對於這道題，首先須要對樹按１爲根優先編號．

編號的時候記錄子樹的權值和以及子樹的編號範圍．

這樣設置根的通常複雜度是O(1), 修改的通常複雜度是O( log( n ) ), 查詢的通常複雜度也是　O( log( n ) ).

修改的最壞複雜度是O( n ), 咱們可使用線段樹來優化到O( log( n ) ).

對於查詢分了三部分，其中有一部分最壞狀況下複雜度也是　O( n ).

當時往二分優化上想了，可是目前的信息不知足二分的條件，因此二分不了．

 

二分優化查詢

 

假設目前查詢的是x, root 是根，　y 是x的某個兒子，　root 在　y 的那個子樹上．

 

問題１：咱們要二分搜索什麼？

 

咱們要搜索y這個節點．

 

問題２：搜索的序列有遞增或遞減的特增嗎？

 

咱們要搜的區間是　left[x]到　left[root], 其中　left[x]　最小，left[y] 不能肯定在那個地方，也不知道　left[y] 的值．

 

問題三：有人說可使用歐拉序列加樹狀數組作這道題，是嗎？

 

歐拉序列是什麼呢？

原來歐拉序列也對樹dfs編號了，只不過進入每一個兒子的時候都對當前子樹根編號，最後結束時再遍一次號，儲存的信息貌似很豐富．

 

問題四：若是咱們也使用歐拉序列或者歐拉序列的思想，能夠二分嗎？

 

貌似能夠．

由於這時x的每一個兒子前面必定有一個編號是x.

而咱們須要的是　root 前面的第一個　x.

又因爲　x 是區間內最小值，因此經過二分這個最小值就能夠搜到　y 了．

 

問題五：最壞複雜度怎麼呀？

 

因爲須要二分，因此最少是　O( log( n ) ).

每次都須要判斷，因此這個咱們須要經過線段樹來優化，能夠優化到　log( n ).

這樣綜合複雜度就是　O( log( n ) ^ 2 )

 

問題六：那你能實現嗎？

 

這個固然能夠，就是一個二分加線段樹．

 

總結

針對昨天遺留下的問題，這裏簡單的總結一下解決方法．

遺留的問題是查詢的時候，若是root是查詢節點x的子孫時，咱們須要找到x的某個兒子y，這個兒子y仍是root的祖先．

這個查找過程用昨天的方法最壞複雜度是O( n ) 的.

 

這裏我找到一個方法：對樹dfs編號的時候，每次在兒子前面都添加一個根節點，即把用根節點把各個兒子爲根的子樹分開．

這樣咱們就可使用二分查找x的兒子y了．

由於root前面第一個編號爲x的節點和y前面第一個編號爲x的節點是相同的．

並且第一個編號爲x的節點的下一個節點就是y節點．

 

因爲x仍是整個區間的最小值，因此咱們就能夠經過二分區間最小值來找到root前面的第一個編號爲x的節點了．

 

代碼

二分優化查詢(其餘的暴力的代碼)https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.3.cpp

完整版的代碼(兩個線段樹寫爲一個了)：https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.4.cpp

 

參考

無