【百度之星2014~初賽（第二輪）解題報告】Chess

聲明

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前言

 

最近要畢業了，有半年沒作比賽了．
此次參加百度之星娛樂一下．
如今寫一下 Chess 這道題的的解題報告．

 

正文

 

題意

題意很簡單，告訴你一個矩陣，以及一個起始座標．

問走k步有多少個不一樣的路線．

一個路線能夠記爲上下左右，則k步有k個上下左右，好比　"上上左左下下"　是一個路線．

 

分析

矩陣的大小是1000*1000, k ＝　１000, 若是使用搜索確定不行．

起始很容易往矩陣冪這個方向上想，可是狀態太多了，　1000*1000 個狀態，行不通．

當時我也考慮分行和列來作，可是就差那麼一步就不向下想了．

網上找了一個解題報告，這個解題報告的分析很簡單，只有一句話：能夠很容易發現行和列是獨立的。

 

好吧！看到這句話我瞬間會作這道題了．

 

接下來我就具體寫寫推算公式給你們．

 

若是是暴力的話，答案應該是

 

ans = sum( Count(i, j, k) );

其中　Count(i, j, k) 表明　從(x, y) 走　k 步到　座標(i, j) 的路徑個數．

 

對於　Count(i, j, k) 咱們怎麼求出來呢？

 

假設從(x, y) 走　k 步到　座標(i, j)時, 咱們有　t 步是上下移動的，　k - t 步是左右移動的，也就是　k 步中有　t 步是上下移動的，及　C(k, t) 吧．

因而咱們能夠得帶這個公式了．

 

Count(i, j, k) = sum(C(k, t) * Count(i, t) * Count(j, k- t) )

其中　C(k, t) 是組合數

Count(i, t) 表明從數軸x 只上下移動走　t 步到達　數軸　i 的路線數，固然，因爲是上下，有個上界n,最大行數.

對應這　Count(j, k-t ) 表明從數軸　y 只左右移動走　k - t 步　到達　j 的路線數，　上界是　m, 最大列數．

 

咱們把這個公式帶入暴力公式能夠獲得

 

ans = sum( C(k, t) * Count(i, t) * Count(j, k- t)  )

其中　0<=t<=k, 1<=i<=n, 1<=j<=m.

 

而後咱們把　i 展開能夠獲得

 

ans = sum(   
C(k, t) * Count(1, t) * Count(j, k- t) 
+C(k, t) * Count(2, t) * Count(j, k- t) 
+ ...
+C(k, t) * Count(n, t) * Count(j, k- t) 
)

再提取公因式，能夠獲得

 

 

ans = sum( C(k, t) * Count(j, k - t) * sum(Count(i, t)) )

同理，能夠把 j 展開

 

 

ans = sum( 
C(k, t) * Count(1, k - t) * sum(Count(i, t))
＋C(k, t) * Count(2, k - t) * sum(Count(i, t))
＋．．．
＋C(k, t) * Count(m, k - t) * sum(Count(i, t))
 )

 

這個也能夠提取公因式

 

ans = sum(C(k, t) * sum( Count(j, k-t ) ) * sum( Count( i, t ) ))

咱們能夠看到，對於　C(k, t) 是組合數，能夠預處理獲得．

 

對於　Count(i, t) 和　Count(j, k-t ) 咱們均可以使用　O(n^2) 的預處理獲得．

而後咱們再使用O(n) 的預處理能夠獲得　sum( Count(j, k-t) ) 和　sum( Count(i, t) ).

最後咱們使用　O( k ) 的複雜度獲得它們的乘積便可．

 

 

代碼

 

 

/*************************************************************************
  > File Name: 2.2.cpp
  > Author: tiankonguse
  > Mail: i@tiankonguse.com
  > Created Time: Mon 26 May 2014 11:31:15 AM CST
***********************************************************************/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<stdarg.h>
using namespace std;
#ifdef __int64
typedef __int64 LL;
#else
typedef long long LL;
#endif
const int N = 1111;
int map[4]= {-2,-1,1,2};
LL C[N][N];
LL mod = 9999991;
LL str[2][N][N], sum[2][N];

void getC() {
	memset(C,0,sizeof(C));
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++) {
            C[i][j] =( C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % mod;
        }
    }
}

void DP(LL str[N][N], LL sum[N], int x, int n, int k) {
    str[0][x] = 1;
    sum[0] = 1;
    for(int t=1; t<=k; t++) {
        for(int i=2; i<=n; i++) {
            for(int kk=0; kk<4; kk++) {
                str[t][i] = (str[t][i] + str[t-1][i+map[kk]]) % mod;
            }
            sum[t] = (sum[t] + str[t][i]) % mod;
        }
    }
}

LL get(int k, int i) {
    return ((C[k][i] * sum[0][i] % mod) * sum[1][k-i] % mod);
}

int main() {
    getC();
    int t,n,m,k,x,y;
    LL ans;
    scanf("%d",&t);
    for(int tt=1; tt<=t; tt++) {
        scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&x,&y);
        n++,m++,x++,y++;
		memset(str,0,sizeof(str));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
        DP(str[0], sum[0], x, n, k);
        DP(str[1], sum[1], y, m, k);

        ans = 0;
        for(int i = 0; i <= k; i++) {
            ans = (ans +   get(k, i))%mod;
        }
        printf("Case #%d:\n%lld\n",tt,ans);
    }

    return 0;
}

 

參考

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4832

http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3751404.html