ACM數論之旅14---抽屜原理，鴿巢原理，球盒原理（叫法不一又有什麼關係呢╮(╯▽╰)╭）

 

這章沒有什麼算法可言，單純的你懂了原理後會不會運用（反正我基本沒怎麼用過￣ 3￣）

 

 

 

 

 

 

有366人，那麼至少有兩人同一天出生（好孩子就不要在乎閏年啦(￣▽￣")）

有13人，那麼至少有兩人同一月出生

 

這就是抽屜原理

 

抽屜原理：把n+1個物品放到n個抽屜裏，那麼至少有兩個物品在同一個抽屜裏

鴿巢原理：把n+1個鴿子放到n個鴿巢裏，那麼至少有兩個鴿子在同一個鴿巢裏

球盒原理：把n+1個小球放到n個球盒裏，那麼至少有兩個小球在同一個球盒裏

（你看，我都幫大家解釋裏一遍(≧︶≦*)）

 

 

 

 

 

 

 

 

其實抽屜原理有兩個

第一抽屜原理

原理1： 把多於n+k個的物體放到n個抽屜裏，則至少有一個抽屜裏的東西很多於兩件。

原理2 ：把多於mn(m乘以n)+1（n不爲0）個的物體放到n個抽屜裏，則至少有一個抽屜裏有很多於（m+1）的物體。

原理3 ：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜裏 有無窮個物體。

 

原理1 、2 、3都是第一抽屜原理的表述。

 

第二抽屜原理

把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體(例如，將3×5-1=14個物體放入5個抽屜中，則一定有一個抽屜中的物體數少於等於3-1=2)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

原理懂了，可是你會運用嗎？

 來看這一題

cf 577B

http://codeforces.com/problemset/problem/577/B

 

 Modulo Sum

給你一個序列a1,a2...an，再給你一個數字m

 

問你能不能從中選出幾個數，把他們相加，令這個和可以整除m

能就是輸出YES，不能就輸出NO

 

 

 

 

 

 

 

不知道你有木有思路(O ° ω ° O )

正常講確定是dp咯，加一點剪枝，勉強卡過了（由於CF上面都是單組數據，多組可能就超時了）

AC代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring> 
 3 const int N = (int)1e6 + 5;
 4 int n, m;
 5 int a[N];
 6 bool dp[2][1000];//滾動數組 
 7 bool work(){
 8     dp[0][a[0]] = true;
 9     for(int i = 1; i < n; i ++){
10         memset(dp[i & 1], 0, sizeof(bool)*1000);
11         dp[i & 1][a[i]] = true;
12         for(int j = 0; j < m; j ++){
13             if(dp[(i-1) & 1][j]){
14                 dp[i & 1][(j + a[i]) % m] = true;
15                 dp[i & 1][j] = true;
16             }
17         }
18         if(dp[i & 1][0]) return true;
19     }
20     return dp[(n-1) & 1][0];
21 }
22 int main(){
23     scanf("%d%d", &n, &m);
24     for(int i = 0; i < n; i ++){
25         scanf("%d", &a[i]);
26         a[i] %= m;
27     }
28     puts(work() ? "YES" : "NO");
29 }

View Code

 

 

 

 

其實這題的n雖然範圍大，可是咱們能夠加一個判斷，n>m的話，必然輸出YES

爲何？根據抽屜原理唄

先求前綴和求餘m，

若是有m+1個數，那麼就會產生m+1個前綴和，求餘完m，就會有m+1個餘數

咱們知道求餘完m會產生0~m-1總共m個餘數

那麼根據抽屜原理，至少有兩個相同的餘數

那麼他們之間的數的和求餘m就確定是0，因此n>m的話，必然輸出YES

 

好比

取兩個下標i和j（i < j）

(a1+a2+...+ai) % m = k

(a1+a2+...+aj) % m = k

那麼(ai+...+aj) %m = 0

 

因此問題解決啦

 

AC代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring> 
 3 const int N = (int)1e6 + 5;
 4 int n, m;
 5 int a[N];
 6 bool dp[2][1000];//滾動數組 
 7 bool work(){
 8     if(n > m) return true;//多加這一句，TLE的代碼說不定就能AC 
 9     dp[0][a[0]] = true;
10     for(int i = 1; i < n; i ++){
11         memset(dp[i & 1], 0, sizeof(bool)*1000);
12         dp[i & 1][a[i]] = true;
13         for(int j = 0; j < m; j ++){
14             if(dp[(i-1) & 1][j]){
15                 dp[i & 1][(j + a[i]) % m] = true;
16                 dp[i & 1][j] = true;
17             }
18         }
19         if(dp[i & 1][0]) return true;
20     }
21     return dp[(n-1) & 1][0];
22 }
23 int main(){
24     scanf("%d%d", &n, &m);
25     for(int i = 0; i < n; i ++){
26         scanf("%d", &a[i]);
27         a[i] %= m;
28     }
29     puts(work() ? "YES" : "NO");
30 }

View Code

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

這個原理懂了，必定要學會用，要否則碰上別的題目同樣不會（又在黑本身。。。(￣▽￣")）