連分數的性質

大概：連分數應用於數值表示、近似計算、方程求解等方面。文章就此討論證實連分數的某些性質。
首先讓咱們一塊兒回溫下數學概括法：
數學概括法：(證實高斯求和公式)
1， 基礎狀況:s(1)
2， 概括假設:s(k)
已知：
假設n=k：
此時將n=k+1帶入s(n)中驗證可得：
It’s amazing!
下面就進入咱們主題，有意思的連分數：
連分數定義：
形如：

表達式，咱們稱之爲連分數稱做 部分商，能夠是實數或複數。項數能夠有限，也能夠無限。具體[1]。
通常地 ，咱們稱爲第k位漸近分數，其中 和互質。

接下來用數學概括法進行證實：

Base case:


證實結束！

接下來用數學概括法進行證實：
Base case:


簡單有窮連分數性質：

小結：
連分數中，漸近分數分母一直增大，而相鄰分數差愈小，另外偶數項部分，呈現單調增，奇數項部分，單調減。

應用：

小結：
有理數可表示爲有限簡單連分數。
無理數可表示爲無限簡單連分數。
循環簡單連分數所表示無理數是二次無理數。

有趣一刻：

在《Proofs that Really Count》中利用組合學給出的相應的解釋，在此就不敘述了。

參考文獻：
[1] 連分數及其基本性質 .何雅
[2] 論連分數的應用.於海傑
[3] 連分數的一個性質以及它的組合解釋
http://www.matrix67.com/blog/archives/5556
[4] 連分數的一個性質以及它的組合解釋