Gym 101873G - Water Testing - [皮克定理]

題目連接：http://codeforces.com/gym/101873/problem/G

 

題意：

在點陣上，給出 $N$ 個點的座標（所有都是在格點上），將它們按順序鏈接能夠構成一個多邊形，求該多邊形內包含的格點的數目。

 

題解：

首先，根據皮克定理 $S = a + \frac{b}{2} - 1$，其中 $S$ 是多邊形面積，$a$ 是多邊形內部格點數目，$b$ 是多邊形邊界上的格點數目。

那麼，咱們只要求出 $S$ 和 $b$，就很好求得 $a$ 了：

一、對於兩端點 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 都再格點上的一條線段，該線段上的格點數目爲 $\gcd(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)+1$。這很好理解，對於橫座標差值和縱座標差值求得的最大公因數 $g$，至關於將橫座標差值分紅 $g$ 份，因爲是整除，所以顯然每份的左右端點都是整數，對於縱座標也是一樣的道理，因爲是最大公因數，因此不可能再分更多份，所以 $\gcd(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$ 即求得兩端點間最多能分紅多少段由格點分割的線段，再加上 $1$ 即整條線段上的格點數目。

二、對於格點按順序給出的多邊形，設 $P_0 = P_{n+1}$ 且 $O$ 爲原點，則面積爲 $\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n}{\left ( \overrightarrow{OP_i} \times \overrightarrow{OP_{i+1}} \right )}$。這個畫個圖模擬一下也很是容易理解。

 

AC代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
const int maxn=1e5+10;
int n;
pll p[maxn];
inline ll gcd(ll m,ll n){return n?gcd(n,m%n):m;}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld%lld",&p[i].first,&p[i].second);
    ll S2=0, b=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        S2+=p[i].first*p[(i+1)%n].second-p[i].second*p[(i+1)%n].first;
        b+=gcd(abs(p[i].first-p[(i+1)%n].first),abs(p[i].second-p[(i+1)%n].second));
    }
    cout<<(abs(S2)-b+2)/2<<endl;
}