二分查找排序

　　二分查找算法，是在大學階段學習的基礎性算法。算法思想簡單，但要寫出一個正確的二分查找算法並不簡單，從1946年提出，到1962年才完成一個正確的二分查找排序算法。二分查找排序算法的變種，也經常出如今各個IT公司的面試題中。本文總結資料嘗試給出一個「正確」的二分查找算法，最後給出一個二分查找排序的變種問題。

　　1. 經典二分查找排序的算法：

 1 int BinarySearch(int* array, int n, int x)
 2 {
 3     assert((array != NULL) && (0 <= n));
 4 
 5     int low = 0;
 6     int high = n -1;
 7 
 8     while (low <= high)
 9     {
10         int mid = low + ((high - low) >> 1);
11         if (array[mid] == x)
12         {
13             return mid;
14         }
15         if (x > array[mid])
16         {
17             low = mid + 1;
18         }
19         else
20         {
21             high = mid -1;
22         }
23     }
24     return -1;
25 }

　　可能須要關注細節問題：

　　1）循環條件

　　在第8行，循環的條件設置成 low <=high。若是設置成low<high，是存在問題的：當只有數組只有一個元素，而且該元素就是須要查找的元素時，算法返回錯誤的值-1，查找失敗。

　　2）求中間元素

　　在第10行，求中間元素使用的代碼：mid = low + ((high - low) >> 1)。一些書籍中給出的是：mid = (high + low) >> 1，若是high+low很大時，會形成溢出。這種狀況出現的機率較小，可是爲了程序適應比較惡劣條件，使用第10行代碼求中間元素就顯得有必要了。

（ps:上面的代碼可能還存在帶完善的地方，歡迎拍磚。。。）

　　2. 二分查找排序算法的變種

　　問題描述：已知一個有序的數組a[N]，循環左移k位(k<N)後獲得新的數組b[N]，在這個新的數組中查找元素x。例如：數組 a[N] = {1, 3, 5, 7, 9, 10}，循環左移2位後變成數組b[N]= {5, 7, 9, 10, 1, 3}，在這個新的數組上查找某個元素x。

　　上題是我在面試中問道的問題，比較慶幸的是我在《劍指offer》一書中碰到了相似的一題，書中須要找出數組b[N]最小的最小元素，所以能比較迅速的解決了這個問題。解決問題的思路和《劍指offer》提供的思路一致。

　　解題思路：數組b[N]中存在着兩個部分有序的子數組，b1：{5, 7, 9, 10}和b2:{1, 3}，其中b1中的元素均大於b2中的元素。在使用二分查找算法時，中間元素mid一定落入b1或者b2某個遞增序列中，具體解決步驟以下：

　　Init:    low = 0, high = N-1, mid = b[low + (high - low) >> 1]

　　step1: 求出數組b的中間元素mid， 若是mid == x，則返回成功，不然進入步驟step2。

　　step2: if(a[low]<mid)，mid落入b1數組，此時：

　　　　　　　　 1） if (a[low]<x<mid)， x在有序區間[low, mid)，則將high = mid -1

　　　　　　　　 2） 不然，x落入區間(mid, high]，則將low = mid +1

　　　　　  else mid落入b2數組，此時：

　　　　　　　　 1）if (mid< x< b[high])，x在有序區間(mid, high]，則將low = mid + 1

　　　　　　　　 2）不然， x落入區間[low, mid)，則將hign = mid -1

　　step3: if(low <= hign) 繼續步驟step1，不然返回查找失敗

 具體的代碼以下：

 1 int rotate_array_search(int a[], int n, int x)
 2 {
 3   int low = 0;
 4   int high = n-1; 
 5   while(low <= high) 
 6   {
 7     int mid = low + ((high - low) >> 1); 

 8     if(a[mid] == x)
 9       return mid;

10     if(a[mid] >= a[low]) 
11     {
12       if(x < a[mid] && x >= a[low])
13       {
14          high = mid -1;
15       }
16      else 
17      {
18          low = mid + 1;
19      }
20     } 
21     else 
22     { 
23       if(x > a[mid] && x <= a[high])
24       {
25           low = mid + 1;
26       } 
　　　　　else 
27      {
28           high = mid -1;
29       }
30     }
31   }
32   return -1; // 查找失敗，則返回-1
33 }