機器學習的數學基礎-（2、線性代數）

時間 2019-12-07

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2、線性代數

行列式

1.行列式按行（列）展開定理函數

(1) 設 $A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}$ ，則： $a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$ .net

或 $a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$ ，即 $AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E$ ，3d

其中： $A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}$ class

$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

(2) 設爲階方陣，則 $\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|$ ，但 $\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$ 不必定成立。基礎

(3) $\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$ , 爲階方陣。變量

(4) 設爲階方陣， $|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$ （若可逆）， $|A^{*}| = |A|^{n - 1}$ bfc

$n \geq 2$

(5) $\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|$
，爲方陣，但 $\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|$ 。lambda

(6) 範德蒙行列式 $D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$ 方法

設是階方陣， $\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$ 是的個特徵值，則
$|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$ im

矩陣

矩陣： $m \times n$ 個數 $a_{{ij}}$ 排成行列的表格 $\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix}$ 稱爲矩陣，簡記爲，或者 $\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n}$ 。若，則稱是階矩陣或階方陣。

矩陣的線性運算

1.矩陣的加法

設 $A = (a_{{ij}})$ , $B = (b_{{ij}})$ 是兩個 $m \times n$ 矩陣，則 $m \times n$ 矩陣 $C = (c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}$ 稱爲矩陣與的和，記爲。

2.矩陣的數乘

設 $A = (a_{{ij}})$ 是 $m \times n$ 矩陣，是一個常數，則 $m \times n$ 矩陣 $(ka_{{ij}})$ 稱爲數與矩陣的數乘，記爲。

3.矩陣的乘法

設 $A = (a_{{ij}})$ 是 $m \times n$ 矩陣， $B = (b_{{ij}})$ 是 $n \times s$ 矩陣，那麼 $m \times s$ 矩陣 $C = (c_{{ij}})$ ，其中 $c_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}$ 稱爲的乘積，記爲。

4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$ 、 $\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}$ 、 $\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$ 三者之間的關係

(1) ${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

(2) $\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1}$
但 ${(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$ 不必定成立。

(3) $\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$ ， $\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$

但 $\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}$ 不必定成立。

(4) ${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}$

5.有關 $\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$ 的結論

(1) $AA^{*} = A^{*}A = |A|E$

(2) $|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)$

(3) 若可逆，則 $A^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A$

(4) 若爲階方陣，則：

$r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}$

6.有關 $\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}$ 的結論

可逆 $\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$\Leftrightarrow A$ 能夠表示爲初等矩陣的乘積； $\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$ 。

7.有關矩陣秩的結論

(1) 秩 =行秩=列秩；

(2) $r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$

(3) $A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1;$

(4) $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);$

(5) 初等變換不改變矩陣的秩

(6) $r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B))$ ，特別若
則： $r(A) + r(B) \leq n$

(7) 若 $A^{- 1}$ 存在 $\Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若 $B^{- 1}$ 存在， $\Rightarrow r(AB) = r(A)$ 。

(8) $r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$ 只有零解

8.分塊求逆公式

$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$ ； $\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$ ；

$\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}$ ； $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}$

這裏，均爲可逆方陣。

向量

1.有關向量組的線性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 線性相關 $\Leftrightarrow$ 至少有一個向量能夠用其他向量線性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 線性無關， $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ， $\beta$ 線性相關 $\Leftrightarrow \beta$ 能夠由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 惟一線性表示。

(3) $\beta$ 能夠由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 線性表示
$\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2.有關向量組的線性相關性

(1)部分相關，總體相關；總體無關，部分無關.

(2) ① 個維向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$ 線性無關 $\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0$ ，

個維向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$ 線性相關
$\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$ 。

② 個維向量線性相關。

③ 若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 線性無關，則添加份量後仍線性無關；或一組向量線性相關，去掉某些份量後仍線性相關。

3.有關向量組的線性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 線性相關 $\Leftrightarrow$ 至少有一個向量能夠用其他向量線性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 線性無關， $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ， $\beta$ 線性相關 $\Leftrightarrow\beta$ 能夠由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 惟一線性表示。

(3) $\beta$ 能夠由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 線性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$

4.向量組的秩與矩陣的秩之間的關係

設 $r(A_{m \times n}) =r$ ，則的秩與的行列向量組的線性相關性關係爲：

(1) 若 $r(A_{m \times n}) = r = m$ ，則的行向量組線性無關。

(2) 若 $r(A_{m \times n}) = r < m$ ，則的行向量組線性相關。

(3) 若 $r(A_{m \times n}) = r = n$ ，則的列向量組線性無關。

(4) 若 $r(A_{m \times n}) = r < n$ ，則的列向量組線性相關。

5. $\mathbf{n}$ 維向量空間的基變換公式及過渡矩陣

若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 與 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 是向量空間的兩組基，則基變換公式爲：

$(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C$

其中是可逆矩陣，稱爲由基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 到基 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的過渡矩陣。

6.座標變換公式

若向量 $\gamma$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 與基 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的座標分別是
$X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}$ ， $Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}$ 即： $\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}$ ，則向量座標變換公式爲或 $Y = C^{- 1}X$ ，其中是從基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 到基 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的過渡矩陣。

7.向量的內積

$(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha$

8.Schmidt正交化

若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 線性無關，則可構造 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$ 使其兩兩正交，且 $\beta_{i}$ 僅是 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}$ 的線性組合 $(i= 1,2,\cdots,n)$ ，再把 $\beta_{i}$ 單位化，記 $\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}$ ，則 $\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}$ 是規範正交向量組。

其中 $\beta_{1} = \alpha_{1}$ ， $\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$ ， $\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ，

............

$\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}$

9.正交基及規範正交基

向量空間一組基中的向量若是兩兩正交，就稱爲正交基；若正交基中每一個向量都是單位向量，就稱其爲規範正交基。

線性方程組

1．克萊姆法則

線性方程組 $\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{{nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}$ ，若是係數行列式 $D = \left| A \right| \neq 0$ ，

則方程組有惟一解， $x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}$ ，其中 $D_{j}$ 是把中第列元素換成方程組右端的常數列所得的行列式。

2. 階矩陣可逆 $r(A_{m \times n}) = m$ 只有零解。 $\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$ 總有惟一解，通常地， $r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$ 只有零解。

3.非奇次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質和解的結構

(1) 設爲 $m \times n$ 矩陣，若 $r(A_{m \times n}) = m$ ，則對而言必有 $r(A) = r(A \vdots b) = m$ ，從而有解。

(2) 設 $x_{1},x_{2},\cdots x_{s}$ 爲的解，則 $k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}$ 當 $k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1$ 時仍爲的解；但當 $k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0$ 時，則爲的解。特別 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 爲的解； $2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$ 爲的解。

(3) 非齊次線性方程組無解 $\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$ 不能由的列向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 線性表示。

4.奇次線性方程組的基礎解系和通解，解空間，非奇次線性方程組的通解

(1) 齊次方程組恆有解(必有零解)。當有非零解時，因爲解向量的任意線性組合還是該齊次方程組的解向量，所以的全體解向量構成一個向量空間，稱爲該方程組的解空間，解空間的維數是，解空間的一組基稱爲齊次方程組的基礎解系。

(2) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 是的基礎解系，即：

1) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 是的解；

2) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 線性無關；

3) 的任一解均可以由 $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 線性表出。
$k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}$ 是的通解，其中 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ 是任意常數。

矩陣的特徵值和特徵向量

1.矩陣的特徵值和特徵向量的概念及性質

(1) 設 $\lambda$ 是的一個特徵值，則 ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ 有一個特徵值分別爲 ${kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},$ 且對應特徵向量相同（ $A^{T}$ 例外）。

(2)若 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ 爲的個特徵值，則 $\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|$ ,從而 $|A| \neq 0 \Leftrightarrow A$ 沒有特徵值。

(3)設 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$ 爲的個特徵值，對應特徵向量爲 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ，

若: $\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}$ ,

則: $A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。

2.類似變換、類似矩陣的概念及性質

(1) 若 $A \sim B$ ，則
1) $A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}$

2) $|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)$

3) $|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$ ，對 $\forall\lambda$ 成立

3.矩陣可類似對角化的充分必要條件

(1)設爲階方陣，則可對角化 $\Leftrightarrow$ 對每一個 $k_{i}$ 重根特徵值 $\lambda_{i}$ ，有 $n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

(2) 設可對角化，則由 $P^{- 1}{AP} = \Lambda,$ 有 $A = {PΛ}P^{-1}$ ，從而 $A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要結論

1) 若 $A \sim B,C \sim D$ ，則 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}$ 。

2) 若 $A \sim B$ ，則 $f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|$ ，其中爲關於階方陣的多項式。

3) 若爲可對角化矩陣，則其非零特徵值的個數(重根重複計算)＝秩( )

4.實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及類似對角陣

(1)類似矩陣：設爲兩個階方陣，若是存在一個可逆矩陣，使得 $B =P^{- 1}{AP}$ 成立，則稱矩陣與類似，記爲 $A \sim B$ 。

(2)類似矩陣的性質：若是 $A \sim B$ 則有：

1) $A^{T} \sim B^{T}$

2) $A^{- 1} \sim B^{- 1}$ （若，都可逆）

3) $A^{k} \sim B^{k}$ （爲正整數）

4) $\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|$ ，從而有相同的特徵值

5) $\left| A \right| = \left| B \right|$ ，從而同時可逆或者不可逆

6) 秩 $\left( A \right) =$ 秩 $\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|$ ，不必定類似

二次型

1. $\mathbf{n}$ 個變量 $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}$ 的二次齊次函數

$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}$ ，其中 $a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$ ，稱爲元二次型，簡稱二次型. 若令 $x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{{nn}} \\\end{bmatrix}$ ,這二次型可改寫成矩陣向量形式 $f =x^{T}{Ax}$ 。其中稱爲二次型矩陣，由於 $a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$ ，因此二次型矩陣均爲對稱矩陣，且二次型與對稱矩陣一一對應，並把矩陣的秩稱爲二次型的秩。

2.慣性定理，二次型的標準形和規範形

(1) 慣性定理

對於任一二次型，不論選取怎樣的合同變換使它化爲僅含平方項的標準型，其正負慣性指數與所選變換無關，這就是所謂的慣性定理。

(2) 標準形

二次型 $f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}$ 通過合同變換化爲 $f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}$ $y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}$ 稱爲 $f(r \leq n)$ 的標準形。在通常的數域內，二次型的標準形不是惟一的，與所做的合同變換有關，但係數不爲零的平方項的個數由惟一肯定。

(3) 規範形

任一實二次型均可通過合同變換化爲規範形 $f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}$ ，其中爲的秩，爲正慣性指數，爲負慣性指數，且規範型惟一。

3.用正交變換和配方法化二次型爲標準形，二次型及其矩陣的正定性

設正定 $\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ 正定； , 可逆； $a_{{ii}} > 0$ ，且 $|A_{{ii}}| > 0$

，正定 $\Rightarrow A +B$ 正定，但，不必定正定。

正定 $\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$

$\Leftrightarrow A$ 的各階順序主子式全大於零

$\Leftrightarrow A$ 的全部特徵值大於零

$\Leftrightarrow A$ 的正慣性指數爲

$\Leftrightarrow$ 存在可逆陣使 $A = P^{T}P$

$\Leftrightarrow$ 存在正交矩陣，使 $Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},$

其中 $\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n$ 。正定 $\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ 正定；可逆； $a_{{ii}} >0$ ，且 $|A_{{ii}}| > 0$ 。