2020-09-20：如何判斷一個數是質數？

福哥答案2020-09-20：

1.試除法。樸素素數篩，埃氏篩，歐拉篩和區間篩。代碼採用樸素素數篩。
2.費爾馬素性測試法法。費馬小定理：假如p是質數，a是整數，且a、p互質，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1，即：a^(p-1)≡1(mod p)。
3.米勒拉賓素性檢驗法。二次探測定理：若是p是一個素數，0<x<p,則方程x^2≡1(mod p)的解爲x=1或x=p-1。
4.綜合法。試除法+米勒拉賓素性檢驗。
5.AKS算法。暫時無代碼。

由於用到了大整數，因此用python語言編寫。代碼以下：

# -*-coding:utf-8-*-

import math
import time
from functools import wraps


def quick_power(a, b, p):
    """ 求快速冪。ret = a^b%p。 Args: a: 底數。大於等於0而且是整數。 b: 指數。大於等於0而且是整數。 p: 模數。大於0而且是整數。 Returns: 返回結果。 Raises: IOError: 無錯誤。 """
    a = a % p
    ans = 1
    while b != 0:
        if b & 1:
            ans = (ans * a) % p
        b >>= 1
        a = (a * a) % p
    return ans


def timefn(fn):
    """計算性能的修飾器"""

    @wraps(fn)
    def measure_time(*args, **kwargs):
        t1 = time.time()
        result = fn(*args, **kwargs)
        t2 = time.time()
        print(f"@timefn: {fn.__name__} took {t2 - t1: .5f} s")
        return result

    return measure_time


@timefn
def is_prime_trial_division(num):
    """ 判斷是不是素數。試除法。 Args: num: 大於等於2而且是整數。 Returns: 返回結果。true爲素數；false是非素數。 Raises: IOError: 無錯誤。 """
    if num <= 1:
        return False
    if num == 2 or num == 3 or num == 5 or num == 7:
        return True
    if num % 2 == 0:
        return False
    i = 3
    while num % i != 0:
        if i * i >= num:
            return True
        i = i + 2
    return False


@timefn
def is_prime_fermat(num):
    """ 判斷是不是素數。費爾馬素性測試法（Fermat primality test） 可能會把合數誤判爲質數。 Args: num: 大於等於2而且是整數。 Returns: 返回結果。true爲素數；false是非素數。 Raises: IOError: 無錯誤。 """
    if num <= 1:
        return False
    if num == 2 or num == 3 or num == 5 or num == 7:
        return True
    if num % 2 == 0:
        return False
    a = 2  # a是[2,num-1]之間的隨機數
    if quick_power(a, num - 1, num) == 1:
        return True
    else:
        return False


# 米勒-拉賓素性檢驗是一種機率算法，可是，Jim Sinclair發現了一組數：2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022。用它們作 [公式] ， [公式] 之內不會出錯，咱們使用這組數，就不用擔憂運氣太差了。
@timefn
def is_prime_miller_rabin(num):
    """ 判斷是不是素數。米勒拉賓素性檢驗是一種機率算法 可能會把合數誤判爲質數。 Args: num: 大於等於2而且是整數。 Returns: 返回結果。true爲素數；false是非素數。 Raises: IOError: 無錯誤。 """
    # num=(2^s)*t
    a = 2  # 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022
    s = 0
    t = num - 1
    num_1 = t
    if not (num % 2):
        return False
    while not (t & 1):
        t >>= 1
        s += 1
    k = quick_power(a, t, num)
    if k == 1:
        return True
    j = 0
    while j < s:
        if k == num_1:
            return True
        j += 1
        k = k * k % num
    return False


@timefn
def is_prime_comprehensive(num):
    """ 判斷是不是素數。綜合算法:試除法+米勒拉賓素性檢驗 可能會把合數誤判爲質數。 Args: num: 大於等於2而且是整數。 Returns: 返回結果。true爲素數；false是非素數。 Raises: IOError: 無錯誤。 """
    if num <= 1:
        return False
    if num & 1 == 0:
        return False

    # 100之內的質數表
    primeList = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

    # 質數表是否能整除
    for prime in primeList:
        if num == prime:
            return True
        if num % prime:
            if prime * prime >= num:
                return True
        else:
            return False

    # 米勒拉賓素性檢驗
    return is_prime_miller_rabin(num)


if __name__ == "__main__":
    print(is_prime_trial_division(12319), "試除法")
    print("----------------------")
    print(is_prime_trial_division(561), "試除法")
    print("----------------------")
    num = 1111111111111111111  # 質數
    num = 561  # 合數
    num = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F  # 質數
    num = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141  # 質數
    num = 2 ** 10000 + 111  # 合數
    print(is_prime_fermat(num), "費爾馬素性測試法")
    print("----------------------")
    print(is_prime_miller_rabin(num), "米勒拉賓素性檢驗")
    print("----------------------")
    print(is_prime_comprehensive(num), "綜合法")
    print("----------------------")
    print("AKS算法，暫時沒代碼")

執行結果以下：

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