CRC循環冗餘校驗碼

爲了保證數據傳輸的可靠性，在計算機網絡傳輸數據時，必須採用各類差錯檢驗措施，目前普遍使用的是循環冗餘（CRC）檢驗的檢錯技術。

CRC簡介

循環冗餘碼校驗 英文名稱爲Cyclical Redundancy Check，簡稱CRC，它是利用除法及餘數的原理來做錯誤偵測（Error Detecting）的。實際應用時，發送裝置計算出CRC值並隨數據一同發送給接收裝置，接收裝置對收到的數據從新計算CRC並與收到的CRC相比較， 若兩個CRC值不一樣，則說明數據通信出現錯誤

那麼其實CRC有比較多種，好比CRC1六、CRC32 ，爲何叫1六、32呢。在這裏並不是與位有和關係。而是由所肯定的多項式最高次冪肯定的。以下所示。理論上講冪次越高校驗效果越好。
       CRC(12位) =X^12+X^11+X^3+X^2+X+1
　　CRC(16位) = X^16+X^15+X^2+1
　　CRC(CCITT) = X^16+X^12 +X^5+1
　　CRC(32位) = X^32+X^26+X^23+X^16+X^12+X^11+X^10+ X^8+X^7+X^5+X^4+X^2+X+1

循環冗餘校驗碼（CRC）的基本原理：

在K位信息碼後再拼接R位的校驗碼，整個編碼長度爲N位，所以，這種編碼又叫（N，K）碼。對於一個給定的（N，K）碼，能夠證實存在一個最高次冪爲N-K=R的多項式G(x)。根據G(x)能夠生成K位信息的校驗碼，而G(x)叫作這個CRC碼的生成多項式。
校驗碼的具體生成過程爲：假設發送信息用信息多項式C(X)表示，將C(x)左移R位，則可表示成C(x)*2R，這樣C(x)的右邊就會空出R位，這就是校驗碼的位置。經過C(x)*2R除以生成多項式G(x)獲得的餘數就是校驗碼。注意：這裏的除法採用的是模2除法 

栗子1：

某循環冗餘碼（CRC）的生成多項式 G(x)＝x^3+x^2+1，發送信息1111，求他的CRC碼，

以及是否能夠判斷接受的CRC碼 1111101 、1001011 是否出錯。

解析：

① G(x) = x^3+x^2+1  -->3次方表示第4位有值，以此類推，  G(x) =1101 ；

② 發送的信息用C(x)表示，G(x)爲四位數，C(x)向左側移（4-1）位，用0補齊C(x) = 1111000；

③ 使用模2除法，C(x)/G(x) 得 1011餘111 ； 注：若是餘數是兩位數11，須要左側用0補滿3位，若是餘0，則爲 000 

④ CRC碼即爲 發送的信息「1111」拼接模2餘數「111」，得1111111。

校驗接收的CRC碼 1111101 是否出錯：

1111101 模2除法除以 1101 得1011 餘 10；所以接受的CRC碼 1111101 是錯誤的；

1001011 模2除法除以 1101 得1111 餘 0 ；所以接受的CRC碼 1001011 是正確的；

通訊與網絡中經常使用的CRC

在數據通訊與網絡中，一般k至關大，由一千甚至數千數據位構成一幀，然後採 用CRC碼產生r位的校驗位。它只能檢測出錯誤，而不能糾正錯誤。
通常狀況下，r位生成多項式產生的CRC碼可檢測出全部的雙錯、奇數位錯和突發長度小於等於r的突發錯以及（1-2-(r-1)）的突發長度爲r+1的突 發錯和（1-2-r）的突發長度大於r+1的突發錯 。例如，對上述r=16的狀況，就能檢測出全部突發長度小於等於16的突發錯以及99．997%的突發 長度爲17的突發錯和99．998%的突發長度大於17的突發錯。

因此CRC碼的檢錯能力仍是很強的。這裏，突發錯誤是指幾乎是連續發生的一串錯，突發長 度就是指從出錯的第一位到出錯的最後一位的長度(可是，中間並不必定每一位都錯)。

 

栗子2：

計算機中經常使用的一種檢錯碼是CRC，即 _A_ 碼。在進行編碼過程當中要使用 _B_ 運算。假設使用的生成多項式是 G(X)=X4+X3+X+1， 原始報文爲11001010101，則編碼後的報文爲 _C_ 。CRC碼 _D_ 的說法是正確的。
在無線電通訊中常採用它規定碼字長爲7位．而且其中總有且僅有3個「1」。這種碼的編碼效率爲_E_。
供選擇的答案：
        A：① 水平垂直奇偶校驗 ② 循環求和 ③ 循環冗餘 ④正比率
        B：① 模2除法 ②定點二進制除法 ③二－十進制除法 ④循環移位法
        C：① 1100101010111 ② 110010101010011 ③ 110010101011100 ④ 110010101010101
        D：① 可糾正一位差錯 ②可檢測全部偶數位錯
        ③ 可檢測全部小於校驗位長度的突發錯 ④可檢測全部小於、等於校驗位長度的突發錯
        E：① 3/7 ② 4/7 ③ log23/log27 ④ (log235)/7
解：從前面有關CRC的論述中可得出： A：③ 循環冗餘 B：① 模2除法
        C：G(x)＝11011，C(x)＝11001010101，C(x)*24÷G(x)＝110010101010000÷11011 餘0011
        獲得的CRC碼爲② 110010101010011
        D：從前面有關通訊與網絡中經常使用的CRC的論述中可得出：④ 可檢測全部小於、等於校驗位長度的突發錯
        E：定比碼又叫定重碼，是奇偶校驗的推廣。在定比碼中，奇數或偶數的性質保持不變，然而附加一種限制，每一個字中1的總數是固定的。隨用途之不一樣，定比碼要求的附加校驗位可能多於一個，但較之單一的奇偶校驗將增長更多的檢錯能力。

 

參考博客 https://blog.csdn.net/weizhengbo/article/details/75040495