從0x7fffffff+1開始的數學指望

-2147483648 Impel Down

蒙奇·D·路飛來到海底監獄Impel Down營救他的哥哥波特卡斯·D·艾斯
n+1層的海底監獄有n個電梯，每一個電梯鏈接着上下兩層
不幸的是，這些電梯是「薛定諤」的，即：當你到達其中一端前，該電梯的位置與運動方向均隨機
現已知每一個電梯從一層到下一層所需的時間t[i]
求路飛從頂層到達底層的指望時間

\(\\\)

因爲電梯「薛定諤」的性質，可知從一端到另外一端的時間指望爲\(2t_i\)

由指望的線性性得，\(Ans=2\sum_{i=1}^n t_i\)

---

-262144 Random

時任海軍大將一笑正在德雷斯羅薩的賭場中玩轉盤
轉盤共有n個區域，編號爲1~n
每轉一次鋼珠都會隨機地進入其中的一個區域
求使鋼珠進入全部區域至少一次所需轉轉盤的指望次數
爲避免精度偏差，結果對998244353取模
(n<=1e6)

\(\\\)

設\(F[k]\)爲轉到\(k\)個區域後還須要轉的指望次數

則有\(F[n]=0,F[k]=\frac{k}{n}F[k]+\frac{n-k}{n}F[k+1]+1\)

\(F[0]\)爲所求

---

-65536 Keys

Impel Down被攻破了
n把相同的鑰匙存放在n個相同的箱子中，有m名戴着相同手銬的囚犯去取鑰匙
這些囚犯打開一次箱子拿到鑰匙就會帶着鑰匙跑路，留下空的箱子，不然就會回到獄中懷疑人生
求跑路囚犯人數的指望
爲了不精度偏差，結果對998244353取模
(n,m<=1e6)

\(\\\)

設\(F[i]\)表示第\(i\)個囚犯取完以後，指望跑路的人數

則有\(F[1]=1,F[i]=F[i-1]+\frac{n-F[i-1]}{n}\)

\(F[m]\)爲所求

---

-248 Losing Weight

烏索普被七武海巴索羅米·熊拍到了一個充滿食物的島上
他吃得太多了，如今的體重是m
如今他要成爲食物了
烏索普要逃離這裏，而如今ta面前有n個食人植物
這些植物會捕食體重不低於正整數v[i]的食物
他天天會隨機遇到n個食人植物中的一個
若他會被面前的植物捕食，則他會花一天的時間使本身的體重降爲 max(0,m-v[i])，不然他能夠花一天時間逃脫
求他逃脫的指望天數
(0<=n,m,v[i]<=2000)

\(\\\)

設\(F[k]\)表示體重爲\(k\)時逃脫的指望天數

則有\(F[k]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[v_i \leq k](F[\max(0,k-v_i)]+1)+[v_i>k]\)

\(F[m]\)爲所求

---

0 Mirrors

喬巴來到了布蕾的鏡中迷宮
這個鏡中迷宮是一個有n個節點的樹，喬巴位於節點1
對於每一個節點v都有三種狀況：被布蕾抓住並送去BIG MOM的奇珍異獸收藏、逃出迷宮、等機率地經過鏡子跑向相鄰的空間，機率分別爲c[v]、e[v]、1-c[v]-e[v]
求喬巴逃出鏡中世界所需通過鏡子數量的指望
若喬巴必定被布蕾抓走，輸出-1
(n<=1e5;0<=c[v],e[v]<=1;c[v]+e[v]<=1)

\(\\\)

設\(E[v]\)爲喬巴走到節點\(v\)時逃離鏡中迷宮所需的步數

易得\(E[v]=\frac{1-c[v]-e[v]}{deg[v]}\sum_{u} (E[u]+1)+e[v]E[v]\)

對於葉子節點，有：\(E[v]=(1-c[v]-e[v])(E[f[v]]+1)+e[v]E[v]\)

這樣從葉子節點往上推，不斷消元消掉\(E[u](u \in sn[v])\)的項，能保證除根節點外每一個節點的指望可用形如\(aE[v]+bE[f[v]]+c=0\)的方程表示

推到根節點時，因爲\(E[1]=\frac{1-k[1]-e[1]}{deg[1]} \sum_{u \in sn[1]} (E[u]+1)+e[1]E[1]\)中，不存在\(E[f[1]]\)項

可得形如\(aE[1]+c=0\)的一元一次方程

\(c=0\)時答案爲\(0\)

不然\(a \to 0\)時無解

不然\(E[1]=-\frac{c}{a}\)爲所求

---

512 Cake

BIG MOM的午飯全是甜點
她吃到k個蛋糕時再用1個單位時間有p[k]的機率吃蛋糕或者休息
她想知道本身吃n個蛋糕所需時間的指望
(0<=p[k]<=1;n<=1e4)

\(\\\)

設\(F[k]\)爲吃完\(k\)個蛋糕後還需時間的指望

則有\(F[n]=0,F[k]=p[k]F[k+1]+(1-p[k])F[k]+1\)

\(F[0]\)爲所求

---

2048

德雷斯羅薩的戰場上
「力庫王殿下，老夫此次和你押的是同一邊。」
一笑擲了三個骰子，這三個骰子分別有k1,k2,k3(1<=k[i]<=6)面，每次某個面朝下的機率相等
給定三個正整數a1,a2,a3(a[i]<=k[i])
計數器的運算法則：sum=(k1==a1&&k2==a2&&k3==a3)?0:sum+k1+k2+k3;
再給定一個正整數n
問使得sum>=n投擲次數的指望
(n<=300)

\(\\\)

設\(F[i]\)爲當前計數器爲\(i\)時到達目標狀態的指望投擲次數

設\(p[v](3 \leq v \leq \sum_{i=1}^3 k[i])\)爲投出總和爲\(v\)且不使\(sum\)清零的機率(暴力枚舉便可)

則有\(F[v]=0(n \leq v),F[v]=(\sum_{i=3}^{\sum_{j=1}^3 k[j]}p[i]F[v+i])+(F[0]\prod_{i=1}^3 \frac{1}{k[i]})+1\)

高斯消元解方程組便可

\(F[0]\)爲所求

---

\(TO \ BE \ CONTINUED\)