數學1——機率與數學指望

本文做者frankchenfu，blogs網址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，轉載請保留此文字。

一、什麼是數學指望？

數學指望亦稱指望、指望值等。在機率論和統計學中，一個離散型隨機變量的指望值是試驗中每一次可能出現的結果的機率乘以其結果的總和。

這是什麼意思呢？假如咱們來玩一個遊戲，一共52張牌，其中有4個A。咱們1元錢賭一把，若是你抽中了A，那麼我給你10元錢，不然你的1元錢就輸給我了。在這個遊戲中，抽中的機率是$\frac{1}{13} ( \frac{4}{52} ) $，結果是贏10元錢；抽不中機率是$\frac{12}{13}$，結果是虧1元錢。那麼你贏的機率，也就是指望值是$-\frac{2}{13}$。這樣，你玩了不少把以後，一算帳，發現平均每把會虧$-\frac{2}{13}$元。

通常在競賽中，若X是一個離散型的隨機變量，可能值爲$x_1,x_2$……，對應機率爲$p_1,p_2$……，機率和爲1，那麼指望值$E(X)=\sum_{i}{}{p_i x_i}$

對於數學指望，咱們還應該明確一些知識點：

（1）指望的「線性」性質。對於全部知足條件的離散型的隨機變量X，Y和常量a，b，有：$E(aX+bY)=a E(x)+b E(y)$；

相似的，咱們還有$E(XY)=E(X)+E(Y)$。

（2）全機率公式 假設{$B_n \mid n = 1,2,3,...$}是一個「機率空間有限或可數無限」的分割，且集合$B_n$是一個「可數集合」，則對於任意事件A有：

$P(A)=\sum_{n}{}{P(A \mid B_n)P(B_n)}$

（3）全指望公式 $E(Y)=E(E(Y \mid X))=\sum_{i}{}{P(X=x_i)E(Y \mid X=x_i)}$

二、數學指望怎麼用？

確實，數學指望在數學的範圍裏是一個較爲複雜，可是卻十分有用的一個部分。

可是題型類型多，花樣也多，有時無從下手。明知是數學指望，卻找不到正確的算法解決問題。

因而，咱們來分析一下：

（1）對於很大一部分的指望問題，遞推是個好幫手。咱們通常在草稿紙上，把題目中隱含的指望值之間的關係，而後通過計算等方法，找出一個遞推式。這個遞推式，不要求咱們枚舉每一種可能（否則就沒有用遞推的意義了），而是根據一些已有的，或是能夠直接簡單地推算出的指望值，算出其餘狀態下的指望。這個道理道理你們也都明白，但是有時是很難找到遞推式的。這時，咱們就應該用咱們以前講過的指望的定義——$E(X)=\sum_{i}{}{p_i x_i}$，而後再結合指望的「線性」性質和全機率、全指望公式，一步步地像「剝筍皮」同樣，找到問題的核心，這樣效果每每很好。

（2）另外，有決策、知足最優子結構的指望問題，咱們還能夠考慮人們經常與「遞推」弄混的「動態規劃」。這裏，咱們通常用指望表示狀態，指望的正負高低，就能決定這個狀態的優和劣。

（3）對於上述兩種方法都不能解決的，這也算是比較少了。這時，常見的嘗試方法之一就是高斯消元法。咱們能夠先嚐試創建一個線性方程組，而後進行高斯消元等操做。

三、數學指望例題

上面講了這麼多，這裏補充一道例題，你們不妨參考一下。

百事世界盃之旅（2002年上海省選）

題目描述

「……在2002年6月以前購買的百事任何飲料的瓶蓋上都會有一個百事球星的名字。只要湊齊全部百事球星的名字，就可參加百事世界盃之旅的抽獎活動，得到球星揹包，隨聲聽，更克赴日韓觀看世界盃。還不趕快行動！」

你關上電視，心想：假設有n個不一樣的球星名字，每一個名字出現的機率相同，平均須要買幾瓶飲料才能湊齊全部的名字呢？

輸入輸出格式

輸入格式：

整數n（2≤n≤33），表示不一樣球星名字的個數。

輸出格式：

輸出湊齊全部的名字平均須要買的飲料瓶數。若是是一個整數，則直接輸出，不然應該直接按照分數格式輸出，例如五又二十分之三應該輸出爲：

 3

5--

 20

 第一行是分數部分的分子，第二行首先是整數部分，而後是由減號組成的分數線，第三行是分母。減號的個數應等於分母的爲數。分子和分母的首位都與第一個減號對齊。

分數必須是不可約的。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

2

輸出樣例#1：

  3

這裏這道題目就是典型的機率指望題。

假設爲一共有n個球星，如今有k個沒有收集到，還須要購買的平均次數，則：

移項並整理得遞推式：

也就是說，咱們要求的就是：

 代碼這裏就不給出了，有興趣的同窗能夠本身嘗試着完成這道題。這篇博客暫時就講到這裏，但願對你們有所幫助，謝謝！