[HIMCM暑期班]第4課: 撲克牌問題

假設跟你玩這樣一個遊戲：

拿一副52張牌的撲克，洗均勻。每次展現一張牌，若是是紅心或者方塊，你就贏10塊錢；若是是黑桃或者草花，你就輸10塊錢。你能夠選擇在任什麼時候候終止此遊戲。問如何確保利益最大化？

 

分析：

1. 玩這個遊戲，你不可能會輸錢。由於最壞的狀況下，你把這個遊戲玩到結束，確定是不賺不賠收場的。

2. 何時退出，決定了收益的多少。

3. 要使用數學指望來衡量利益最大化。

4. 一種簡單的策略是，只要贏10塊錢，就退出。請問在這種策略下，你贏錢的數學指望是多少？

5. 再簡化一下問題，若是隻有3張紅牌3張黑牌，在4的條件下，問數學指望是多少？

 

如今來解決數學指望的問題，假設有6張牌，3紅3黑，那麼第一次抽牌的數學指望。這裏使用相似決策樹（實際上是最簡化的一種）的方案來實現：

Ⅰ第一次抽到紅：3/6 √

Ⅱ第一次抽到黑：3/6

①第二次抽到紅：3/5

     1. 第三次抽到紅：2/4 √

     2. 第三次抽到黑：2/4

            A. 第四次抽到紅2/3

                     a）第五次抽到紅1/2 √

                     b) 第五次抽到黑1/2 ×

            B. 第四次抽到黑1/3 ×

②第二次抽到黑：2/5

     1. 第三次抽到紅：3/4

            A. 第四次抽到紅2/3

                     a) 第五次抽到紅1/2 √

                     b) 第五次抽到黑1/2 ×

            B. 第四次抽到黑1/3 ×

     2. 第三次抽到黑：1/4 ×

這裏打勾√表示掙到10塊錢退出，打叉×表示最後要平局收場。統計一下全部打勾的狀況的加權平均數：

3/6+3/6×3/5×2/4+3/6×3/5×2/4×2/3×1/2+3/6×2/5×3/4×2/3×1/2

= 1/2+1/20+3/20+1/20

= 15/20 = 3/4

便是答案。

 

結論：

這節課上主要介紹了數學指望這個概念，而後對一些排列組合的問題進行了簡單的分析和練習。下一節課還會在此問題上進行展開。