動態規劃入門-數字三角形（從樸素遞歸到各類優化）

數字三角形(POJ1163)

Description

7
3   8
8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

 

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得
路徑上所通過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或
右下走。只須要求出這個最大和便可，沒必要給出具體路徑。
三角形的行數大於1小於等於100，數字爲 0 - 99

輸入格式：
5 //三角形行數。下面是三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

要求輸出最大和

 

Sample Output

30

Source

IOI 1994

 

 

解題思路：
用二維數組存放數字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)
MaxSum(r, j) : 從D(r,j)到底邊的各條路徑中，
最佳路徑的數字之和。
問題：求 MaxSum(1,1)
典型的遞歸問題。
D(r, j)出發，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故對於N行的三角形：
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

改進

若是每算出一個MaxSum(r,j)就保存起來，下次用
到其值的時候直接取用，則可免去重複計算。

 

遞歸轉成遞推

「人人爲我」遞推型動歸 Pascal代碼

 1 //By LYLtim
 2 //2010.10.18
 3 uses math;
 4 var n,i,j:byte;
 5     a:array[1..10,1..10]of word;
 6     f:array[1..10,1..10]of word;
 7 begin
 8     assign(input,'tower.in');reset(input);
 9     assign(output,'tower.out');rewrite(output);
10     readln(n);
11     for i:=1 to n do
12         begin
13             for j:=1 to i do
14                 read(a[i,j]);
15             readln;
16         end;
17     fillchar(f,sizeof(f),0);
18     for i:=1 to n do f[n,i]:=a[n,i];
19     for i:=n-1 downto 1 do
20         for j:=1 to i do
21             f[i,j]:=max(f[i+1,j],f[i+1,j+1])+a[i,j];
22     writeln('max=',f[1,1]);
23     close(input);close(output);
24 end.

空間優化

不必用二維maxSum數組存儲每個MaxSum(r,j),只要從底層一行行向上
遞推，那麼只要一維數組maxSum[100]便可,即只要存儲一行的MaxSum值就
能夠。

進一步考慮，連maxSum數組均可以不要，直接用D的
第n行替代maxSum便可。
節省空間，時間複雜度不變

 

遞推+空間優化 C++代碼

 1 //By LYLtim
 2 //2015.2.11
 3 #include <iostream>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 int main()
 7 {
 8     int n, d[101][101];
 9     cin >> n;
10     for (int i = 1; i <= n; i++)
11         for (int j = 1; j <= i; j++)
12             cin >> d[i][j];
13     for (int i = n-1; i >= 1 ; i--)
14         for (int j = 1; j <= i; j++)
15             d[n][j] = max(d[n][j], d[n][j+1]) + d[i][j];
16     cout << d[n][1];
17 }

 

遞歸到動規的通常轉化方法

遞歸函數有n個參數，就定義一個n維的數組，數組
的下標是遞歸函數參數的取值範圍，數組元素的值
是遞歸函數的返回值，這樣就能夠從邊界值開始，
逐步填充數組，至關於計算遞歸函數值的逆過程。

 

動規解題的通常思路
1. 將原問題分解爲子問題
 把原問題分解爲若干個子問題，子問題和原問題形式相同
或相似，只不過規模變小了。子問題都解決，原問題即解
決(數字三角形例）。
 子問題的解一旦求出就會被保存，因此每一個子問題只需求
解一次。

2. 肯定狀態
 在用動態規劃解題時，咱們每每將和子問題相
關的各個變量的一組取值，稱之爲一個「狀
態」。一個「狀態」對應於一個或多個子問題，
所謂某個「狀態」下的「值」，就是這個「狀
態」所對應的子問題的解。

全部「狀態」的集合，構成問題的「狀態空間」。「狀態
空間」的大小，與用動態規劃解決問題的時間複雜度直接相關。
在數字三角形的例子裏，一共有N×(N+1)/2個數字，因此這個
問題的狀態空間裏一共就有N×(N+1)/2個狀態。
整個問題的時間複雜度是狀態數目乘以計算每一個狀態所需
時間。
在數字三角形裏每一個「狀態」只須要通過一次，且在每一個
狀態上做計算所花的時間都是和N無關的常數。

用動態規劃解題，常常碰到的狀況是，K個整型變量能
構成一個狀態（如數字三角形中的行號和列號這兩個變量
構成「狀態」）。若是這K個整型變量的取值範圍分別是
N1, N2, ……Nk，那麼，咱們就能夠用一個K維的數組
array[N1] [N2]……[Nk]來存儲各個狀態的「值」。這個
「值」未必就是一個整數或浮點數，多是須要一個結構
才能表示的，那麼array就能夠是一個結構數組。一個
「狀態」下的「值」一般會是一個或多個子問題的解。

3. 肯定一些初始狀態（邊界狀態）的值
以「數字三角形」爲例，初始狀態就是底邊數字，值
就是底邊數字值。

4. 肯定狀態轉移方程
定義出什麼是「狀態」，以及在該 「狀態」下的「值」後，就要
找出不一樣的狀態之間如何遷移――即如何從一個或多個「值」已知的
「狀態」，求出另外一個「狀態」的「值」(「人人爲我」遞推型)。狀
態的遷移能夠用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱做「狀態轉移方
程」。

 

能用動規解決的問題的特色1) 問題具備最優子結構性質。若是問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，咱們就稱該問題具備最優子結構性質。2) 無後效性。當前的若干個狀態值一旦肯定，則此後過程的演變就只和這若干個狀態的值有關，和以前是採起哪種手段或通過哪條路徑演變到當前的這若干個狀態，沒有關係。