01揹包問題 （動態規劃算法）

P01: 01揹包問題

題目
給定 N 種物品和一個容量爲 V 的揹包，物品 i 的體積是 wi，其價值爲 ci 。
(每種物品只有一個)
問：如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

面對每一個物品，咱們只有選擇放入或者不放入兩種選擇，每種物品只能放入一次。

咱們用以前一樣的思路來走一遍試試
假設只剩下最後一件物品，咱們有兩種選擇
1.剩餘空間足夠時，選擇放入
2.剩餘空間不足時，不放入

因此咱們有兩個最優的子結構：
1.容量爲V的揹包放入i-1件物品的最優選擇
2.容量爲V-w[i]的揹包放入i-1件物品的最優選擇

因此，綜合起來就是：
i 件物品放入容量爲V的揹包的最優選擇：
max(容量爲V的揹包放入i-1件物品的最優選擇，容量爲V-w[i]的揹包放入i-1件物品的最優選擇+c[i])

咱們用f[i] [v]表示前 i 件物品放入容量爲 v 的揹包中能夠得到的最大價值。
用子問題定義狀態：
其狀態轉移方程是：f[i] [v] = max{f[i-1] [v],f[i-1] [v-w[i]]+c[i]}。

咱們先假設
揹包總容量爲V = 12
物品的容量數組爲 w = [4, 6, 2, 2, 5, 1]
價值數組爲 c = [8, 10, 6, 3, 7, 2]

1. f(i,v) = 0 (i<=1, v<w[0]);
2. f(i,v) = c[0] (i==1, v>=p[0]);
3. f(i,v) = f(i-1,v) (i>1, v<w[i-1])
4. f(i,v) = max(f(i-1,v), f(i-1,v-w[i-1])+c[i-1])(i>1, v>=w[i-1])

咱們每次從左至右，保存前一次的數據
從上至下時，保存前一行的數據
因此咱們總的來講只用保存一行的數據，空間複雜度爲O(V)
時間複雜度爲O(N*V),空間複雜度爲O(V);

可是，若是咱們用原始的遞歸辦法去作，即排列組合的方法去作時
時間複雜度爲O(2^N);

那麼當V很大，N較小時，好比V=1000，N=6時，用遞歸只用計算2^6=64次，而備受推崇的動態規劃就須要計算1000*6=6000次

因此說，算法沒有絕對的好壞，關鍵要看應用的慘景