拓撲排序(一)之 C語言詳解

本章介紹圖的拓撲排序。和以往同樣，本文會先對拓撲排序的理論知識進行介紹，而後給出C語言的實現。後續再分別給出C++和Java版本的實現。

目錄
1. 拓撲排序介紹
2. 拓撲排序的算法圖解
3. 拓撲排序的代碼說明
4. 拓撲排序的完整源碼和測試程序

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拓撲排序介紹

拓撲排序(Topological Order)是指，將一個有向無環圖(Directed Acyclic Graph簡稱DAG)進行排序進而獲得一個有序的線性序列。

這樣說，可能理解起來比較抽象。下面經過簡單的例子進行說明！
例如，一個項目包括A、B、C、D四個子部分來完成，而且A依賴於B和D，C依賴於D。如今要制定一個計劃，寫出A、B、C、D的執行順序。這時，就能夠利用到拓撲排序，它就是用來肯定事物發生的順序的。

在拓撲排序中，若是存在一條從頂點A到頂點B的路徑，那麼在排序結果中B出如今A的後面。

拓撲排序的算法圖解

拓撲排序算法的基本步驟：

1. 構造一個隊列Q(queue) 和 拓撲排序的結果隊列T(topological)；
2. 把全部沒有依賴頂點的節點放入Q；
3. 當Q還有頂點的時候，執行下面步驟：
3.1 從Q中取出一個頂點n(將n從Q中刪掉)，並放入T(將n加入到結果集中)；
3.2 對n每個鄰接點m(n是起點，m是終點)；
3.2.1 去掉邊<n,m>;
3.2.2 若是m沒有依賴頂點，則把m放入Q;
注：頂點A沒有依賴頂點，是指不存在以A爲終點的邊。

以上圖爲例，來對拓撲排序進行演示。

第1步：將B和C加入到排序結果中。
    頂點B和頂點C都是沒有依賴頂點，所以將C和C加入到結果集T中。假設ABCDEFG按順序存儲，所以先訪問B，再訪問C。訪問B以後，去掉邊<B,A>和<B,D>，並將A和D加入到隊列Q中。一樣的，去掉邊<C,F>和<C,G>，並將F和G加入到Q中。
    (01) 將B加入到排序結果中，而後去掉邊<B,A>和<B,D>；此時，因爲A和D沒有依賴頂點，所以並將A和D加入到隊列Q中。
    (02) 將C加入到排序結果中，而後去掉邊<C,F>和<C,G>；此時，因爲F有依賴頂點D，G有依賴頂點A，所以不對F和G進行處理。
第2步：將A,D依次加入到排序結果中。
    第1步訪問以後，A,D都是沒有依賴頂點的，根據存儲順序，先訪問A，而後訪問D。訪問以後，刪除頂點A和頂點D的出邊。
第3步：將E,F,G依次加入到排序結果中。

所以訪問順序是：B -> C -> A -> D -> E -> F -> G

拓撲排序的代碼說明

拓撲排序是對有向無向圖的排序。下面以鄰接表實現的有向圖來對拓撲排序進行說明。

1. 基本定義

// 鄰接表中表對應的鏈表的頂點
typedef struct _ENode
{
    int ivex;                   // 該邊所指向的頂點的位置
    struct _ENode *next_edge;   // 指向下一條弧的指針
}ENode, *PENode;

// 鄰接表中表的頂點
typedef struct _VNode
{
    char data;              // 頂點信息
    ENode *first_edge;      // 指向第一條依附該頂點的弧
}VNode;

// 鄰接表
typedef struct _LGraph
{
    int vexnum;             // 圖的頂點的數目
    int edgnum;             // 圖的邊的數目
    VNode vexs[MAX];
}LGraph;

(01) LGraph是鄰接表對應的結構體。 vexnum是頂點數，edgnum是邊數；vexs則是保存頂點信息的一維數組。
(02) VNode是鄰接表頂點對應的結構體。 data是頂點所包含的數據，而firstedge是該頂點所包含鏈表的表頭指針。
(03) ENode是鄰接表頂點所包含的鏈表的節點對應的結構體。 ivex是該節點所對應的頂點在vexs中的索引，而nextedge是指向下一個節點的。

2. 拓撲排序

/*
 * 拓撲排序
 *
 * 參數說明：
 *     G -- 鄰接表表示的有向圖
 * 返回值：
 *     -1 -- 失敗(因爲內存不足等緣由致使)
 *      0 -- 成功排序，並輸入結果
 *      1 -- 失敗(該有向圖是有環的)
 */
int topological_sort(LGraph G)
{
    int i,j;
    int index = 0;
    int head = 0;           // 輔助隊列的頭
    int rear = 0;           // 輔助隊列的尾
    int *queue;             // 輔組隊列
    int *ins;               // 入度數組
    char *tops;             // 拓撲排序結果數組，記錄每一個節點的排序後的序號。
    int num = G.vexnum;
    ENode *node;

    ins  = (int *)malloc(num*sizeof(int));  // 入度數組
    tops = (char *)malloc(num*sizeof(char));// 拓撲排序結果數組
    queue = (int *)malloc(num*sizeof(int)); // 輔助隊列
    assert(ins!=NULL && tops!=NULL && queue!=NULL);
    memset(ins, 0, num*sizeof(int));
    memset(tops, 0, num*sizeof(char));
    memset(queue, 0, num*sizeof(int));

    // 統計每一個頂點的入度數
    for(i = 0; i < num; i++)
    {
        node = G.vexs[i].first_edge;
        while (node != NULL)
        {
            ins[node->ivex]++;
            node = node->next_edge;
        }
    }

    // 將全部入度爲0的頂點入隊列
    for(i = 0; i < num; i ++)
        if(ins[i] == 0)
            queue[rear++] = i;          // 入隊列

    while (head != rear)                // 隊列非空
    {
        j = queue[head++];              // 出隊列。j是頂點的序號
        tops[index++] = G.vexs[j].data; // 將該頂點添加到tops中，tops是排序結果
        node = G.vexs[j].first_edge;    // 獲取以該頂點爲起點的出邊隊列

        // 將與"node"關聯的節點的入度減1；
        // 若減1以後，該節點的入度爲0；則將該節點添加到隊列中。
        while(node != NULL)
        {
            // 將節點(序號爲node->ivex)的入度減1。
            ins[node->ivex]--;
            // 若節點的入度爲0，則將其"入隊列"
            if( ins[node->ivex] == 0)
                queue[rear++] = node->ivex;  // 入隊列

            node = node->next_edge;
        }
    }

    if(index != G.vexnum)
    {
        printf("Graph has a cycle\n");
        free(queue);
        free(ins);
        free(tops);
        return 1;
    }

    // 打印拓撲排序結果
    printf("== TopSort: ");
    for(i = 0; i < num; i ++)
        printf("%c ", tops[i]);
    printf("\n");

    free(queue);
    free(ins);
    free(tops);
    return 0;
}

說明：
(01) queue的做用就是用來存儲沒有依賴頂點的頂點。它與前面所說的Q相對應。
(02) tops的做用就是用來存儲排序結果。它與前面所說的T相對應。

拓撲排序的完整源碼和測試程序

拓撲排序源碼(list_dg.c)