鞏固 | 最全面的算法複雜度分析

前言

這是 2019 年 1 月 20 日的一篇文章，之因此今天從新發一遍，由於我以爲算法的複雜度分析是入門算法的一個基本功。有句話說的好，「練武不練功，到老一場空」。我也是正好溫習了一遍，若是不常常用，我也有遺忘的時候。

另一點就是，以往看似很少的一篇動畫技術文章，它的寫做和製做很是耗時間的，這個時間會超出你的想象。我我的初心是不想匆匆撩草的完成一篇文章，而後發到公衆號，這對我和你來講是不負責任的。

因此我仍是選擇留出多一點時間好好去寫，而後把圖設計的更易懂些，不求一天一更，只求每篇文章拿出我最好的狀態來分享。

一、數據結構是用來幹嗎的？

數據結構與算法的誕生是讓計算機「執行的更快」、「更省空間」的。

二、用什麼來評判數據結構與算法的好壞？

從「執行時間」和「佔用空間」兩個方面來評判數據結構與算法的好壞。

三、什麼是複雜度？

用「時間複雜度」和「空間複雜度」來描述性能問題，二者統稱爲複雜度。

四、複雜度描述了什麼？

複雜度描述的是算法執行時間（或佔用空間）與數據規模的增加關係。

一、和性能分析相比有什麼優勢？

輔助度分析有不依賴執行環境、成本低、效率高、易操做、指導性強的特色。

二、爲何要複雜度分析？

複雜度描述的是算法執行時間（或佔用空間）與數據規模的增加關係。

一、什麼方法能夠進行復雜度分析？

方法：「大 O 表示法」

二、什麼是大 O 表示法？

算法的「執行時間」與每行代碼的「執行次數」成正比【T(n) = O(f(n)) 】=》其中T(n)表示算法執行總時間，f(n)表示每行代碼執行總次數，而n每每表示數據的規模。

三、大 O 表示法的特色？

因爲時間複雜度描述的是算法執行時間與數據規模的增加變化趨勢，常量階、低階以及係數實際上對這種增加趨勢不產決定性影響，因此在作時間複雜度分析時忽略這些項。

四、複雜度分析法則

• [單段代碼看頻率]：看代碼片斷中「循環代碼」的時間複雜度。

• [多段代碼看最大]：若是多個 for 循環，看「嵌套循環最多」的那段代碼的時間複雜度。

• [嵌套代碼求乘積]：循環、遞歸代碼，將內外嵌套代碼求乘積去時間複雜度。

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時間複雜度

一、什麼是複雜度？

全部代碼的「執行時間 T(n)」 與每行代碼的「執行次數n」 成正比【T(n) = O(f(n)) 】。

二、分析的三個方法

■ 最多法則

忽略掉公式中的常量、低階、係數，取最大循環次數就能夠了，也就是循環次數最多的那行代碼。

Example

1// 求n個數字之和
2int xiaolu(int n) {
3   int sum = 0;
4   for (int i = 1; i <= n; ++i) {
5     sum = sum + i;
6   }
7   return sum;
8 }

分析

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第二行是一行代碼，也就是常量級別，與 n 沒有關係，能夠忽略，4、五行代碼是咱們重點分析對象，與 n 有關，時間複雜度就是反映執行時間和 n 數據規模的關係。求 n 個數據之和須要執行 n 次。因此時間複雜度爲 O(n)。

■ 加法法則

總複雜度等於循環次數最多的那段複雜度。

Example

1int xiaolu(int n) {
 2   int sum = 0;
 3   //循環一
 4   for (int i = 1; i <= 100; j++) {
 5     sum = sum + i;
 6   }
 7   //循環二
 8   for (int j = 1; j <= n; j++) {
 9      sum = sum + i;
10   }
11 }

分析

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上邊有兩個循環，一個循環 100 次，另外一個循環 n 次，咱們選擇循環次數最多的那一個且和「數據規模 n 」相關的循環。由上可知，咱們很容易選出循環二，即和數據規模 n 有關，循環次數最多，循環次數最多的那段代碼時間複雜度就表明整體的時間複雜度，爲 O(n) ;

■ 乘法法則

當咱們遇到嵌套的 for 循環的時候，怎麼計算時間複雜度呢？那就是內外循環的乘積。

Example

1 for (int j = 1; j <= n; j++) {
2     for(int i = 1; i <= n; i++)
3     sum = sum + i;
4 }

分析

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外循環一次，內就循環 n 次，那麼外循環 n 次，內就循環 n*n 次。因此時間複雜爲 O(n²)。

空間複雜度

一、什麼是空間複雜度？

表示算法的「存儲空間」與「數據規模」之間的增加關係

Example

1int xiaolu(int n) {
 2   int sum = 0;
 3   //循環一
 4   for (int i = 1; i <= 100; j++) {
 5     sum = sum + i;
 6   }
 7   //循環二
 8   for (int j = 1; j <= n; j++) {
 9      sum = sum + i;
10   }
11 }

分析

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在全部代碼中，咱們很容易尋找到存儲空間相關的代碼，就是第二行，申請了一個 常量級別 大小的存儲空間，因此空間複雜度爲 O(1)。

二、最多見的空間複雜度

O(1)、O(n)、O(n²)。

■ O(1)

常量級的時間複雜度表示方法，不管是一行代碼，仍是多行，只要是常量級的就用 O(1) 表示。

Example

1int i = 1;
2int j = 2;
3int sum = i + j;

分析

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由於這三行代碼，也就是常量級別的代碼不隨 n 數據規模的改變而改變。（循環、遞歸除外）

■ O(logn) | O(nlogn)

「對數階時間複雜度」，最難分析的一種時間複雜度。

Example

1 i=1;
2 while (i <= n)  {
3   i = i * 3;
4 }

分析

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要求這段代碼的時間複雜度就求這段代碼執行了多少次，看下圖具體分析。

補充

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不論是以 2 爲底、以 3 爲底，仍是以 10 爲底，能夠把全部對數階的時間複雜度都記爲 O(logn)，由於對數之間能夠轉換的，參照高中課本。

*■ O(m+n) | O(mn)**

參照上邊講到的加法和乘法法則。

一、最好、最壞時間複雜度

所謂的最好、最壞時間複雜度分別對應代碼最好的狀況和最壞的狀況下的執行。

Example

1 //在一個 array 數組中查找一個數據 a 是否存在
2for (int i = 1; i < n; i++) {
3    if (array[i] == a) {
4       return i;
5    }
6 }

分析：

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一、最好狀況就是數組的第一個就是咱們要查找的數據，上邊代碼之執行一遍就能夠，這種狀況下的時間複雜度爲最好時間複雜度，爲 O(1)。

二、最壞的狀況就是數組的最後一個纔是咱們要查找的數據，須要循環遍歷 n 遍數組，也就對應最壞的時間複雜度爲 O(n) 。

二、平均時間複雜度

平均時間複雜度須要藉助機率論的知識去分析，也就是咱們機率論中所說的加權平均值，也叫作指望值。

分析

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好比上方的例子，假設咱們查找的數據在數組中的機率爲 1/2；出如今數組中的機率爲 n/1,根據下邊的公式就能夠算出出現的機率爲 1/2n 。

而後咱們再把每種狀況考慮進去，就能夠計算出平均時間複雜度。

三、均攤時間複雜度

■什麼是均攤時間複雜度？

好比咱們每 n 次插入數據的時間複雜度爲 O(1)，就會有一次插入數據的時間複雜度爲 O(n)，咱們將這一次的時間複雜度平均到 n 次插入數據上，時間複雜度仍是 O(1)。

■ 攤還分析

好比咱們每 n 次插入數據的時間複雜度爲 O(1)，就會有一次插入數據的時間複雜度爲 O(n)，咱們將這一次的時間複雜度平均到 n 次插入數據上，時間複雜度仍是 O(1)。

■ 適用場景

通常應用於某一數據結構，連續操做時間複雜度比較低，可是個別狀況時間複雜度特別高，咱們將特別高的這一次進行均攤到較低的操做上。

■ 幾種複雜度性能對比