學習筆記--卡特蘭數

鑑於Noip初賽考到了卡特蘭數.....整理一下。湊合着看。

1、介紹

卡特蘭數是一種經典的組合數，常常出如今各類計算中，其前幾項爲:

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,

2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,

6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650,

1289904147324, 4861946401452, ...

當你打表出來時，別不認識這是卡特蘭數。

2、卡特蘭序列

通項公式：

遞推公式：

C(n) = C(1)*C(n-1) + C(2)*C(n-2) + ... + C(n-1)C(1)，n>=2

通常性質：

3、證實 (挺神奇的.jpg

給你一個只有0和1的序列，n個0和n個1，從左向右掃描，要求任何是一個位置前綴1的個數大於等於

前綴0的個數，若不符合要求，則爲不合法序列。則合法序列的個數爲C(n,2n)-C(n+1,2n);證實這個問

題的答題思路是用全部序列的個數-不符合條件的個數。

S1：若是不考慮前綴1的個數大於等於0的個數，則方案數有C(n,2n)種。

S2：那麼不符合條件的方案數有多少種呢？接下來證實，不符合條件的方案數有C(n+1,2n)種。

假如n=5,我隨便寫一種不符合條件的序列。1010010101

從左往右掃描，發現到第5個位置，0的個數爲3,1的個數爲2，這是第一個不符合要求的位置。那麼咱們

能夠知道任何個不符合要求的序列，必定存在一個奇數位,此時前綴有m+1個0和m個1。則這個位置後面

還有n-(m+1)個0和(n-m)個1.此時把後面的0改爲1,1改爲0；那麼後面就有了n-(m+1)個1和(n-m)個0；

那麼總的序列就有，(m+1)+(n-m)=n+1個0，m+(n-m-1)=n-1個1。此時序列就變成有n+1個0，n-1個

1的序列。因爲0比1多兩個。因此這個序列不管怎麼排必定不合法。設第一個不合法的位置是x,則前

有m+1和0和m個1。這時把x後的0變成1,1變成0後，這個序列又回到了n個1，n個0的序列。因此不符

合條件的序列個數就是n+1個0和n-1個1的全部排列。

4、應用

 下面其實都是網上抄的...

(1)

對於一個n*n的正方形網格，每次只能向右或者向上移動一格，那麼從左下角到右上角

全部在副對角線右下方的路徑總數爲

 

(2)對凸n+2邊形進行不一樣的三角形分割（只鏈接頂點對造成n個三角形）數爲Cn

(3)n個數入棧後的出棧的排列總數是

(4)n層的階梯切割爲n個矩形的切法數也是

(5)在一個2*n的格子中填入1到2n這些數值使得每一個格子內的數值都

比其右邊和上邊的全部數值都小的狀況數也是

(6)咱們能夠將應用1變換形式：將-1當作右括號，+1當作左括號，就變成了左括號和右括號各有n個時，合法括號表達式的個數。好比2個左括號和2個右括號組成的合法表達式有種，是()()和(())。