一類 O(1) 算法的總結

這裏要注意一下， 一部分 O(1) 算法是須要 \(O(n)\) 或者 \(O(\sqrt n)\) 預處理的...

1.

O(1) 求 1~n 的異或和：

inline int calc(R int n){int t=n&3;return t&1?(t/2^1):(t/2^n);}

2.

O(1) GCD：

zzq 大佬的 blog 裏面有寫，我還搬下來作過板子...

某些 數據下會比帶 log 的算法高到不知道哪裏去，然鵝隨機狀況嘛...咳咳，我只能說，人家 O(1) 是要預處理的...

3.

O(1) 前綴 k 次和：

相似這麼個式子： \(\sum_{i=0}^n i^k\) （雖然說左邊界是 0 是 1 沒什麼關係，畢竟 k 也不會等於 0 ）

對於 k=1 ： 原式= \((n+1)n\over 2\)

對於01314413 k=2 ： 原式= \(n(n+1)(2n+1)\over 6\) 或者 \(n(n+{1\over 2})(n+1)\over 3\) 也挺好記的

對於 k=3 ： 原式= \((n+1)^2n^2\over 4\) ，其實就是 k=1 的狀況平方了一下...

4.

O(1) 逆元

須要 O(n) 預處理，詳情看這裏唄，順便 O(n) 前綴積一下就是階乘逆元了

5.

O(1) 快速冪

一個大前提是快速冪的底數 x 固定，好比說是 2

這樣咱們能夠 \(O(\sqrt P)\) 預處理出 \(x^0,x^1,...,x^{\sqrt P -1} , x^{\sqrt P},x^{2 \sqrt P},...,x^{P}\)

而後咱們就能夠愉快地 O(1) 查詢了