Lyndon Word學習筆記

Lyndon Word

定義：對於字符串\(s\)，若\(s\)的最小後綴爲其自己，那麼稱\(s\)爲Lyndon串

等價性：\(s\)爲Lyndon串等價於\(s\)自己是其循環移位中最小的一個

性質

任意字符串\(s\)均可以分解爲\(s = s_1 s_2 \dots s_k\)，其中\(\forall s_i\)爲Lyndon串且\(s_i \geqslant s_{i +1}\)。且這種分解方法是惟一的

• 存在性

引理1：若\(u, v\)爲Lyndon串，且\(u < v\)，那麼\(uv\)爲Lyndon串

證實：
要證實\(uv\)爲Lyndon串只需證實\(uv\)自己爲其最小後綴，
咱們能夠把全部的後綴分爲兩類，一類是由\(u\)的後綴加上\(v\)串的來，這部分的相對大小不會改變。
另外一類是\(v\)串的後綴，由於\(v\)自己也是Lyndon串，咱們只需證實\(v > uv\)，由於\(v > u\)，顯然成立

• 惟一性

證實：
設\(pre(s, i)\)表示串\(s\)中\(s[1 \dots i]\)所表明的前綴
如有兩種方案，取第一次不一樣的位置，設\(|s_i| > |s'_i|\)
令\(s_i = s'_i s'_{i + 1} \dots s'_{k} pre(s_{k + 1}, l)\)
反證法。根據定義，\(s_i < pre(s'_{k + 1}, l) \leqslant s'_{k + 1} \leqslant s'_i < s_i\)
矛盾

Duval算法

(下面內容抄襲並補充自參考資料2)

該算法能夠在\(O(n)\)的時間內求出串\(s\)的Lyndon分解

測試地址

引理2：若字符串\(v\)和字符\(c\)知足\(vc\)是某個Lyndon串的前綴，則對於字符\(d>c\)有\(vd\)是Lyndon串

證實：和上面一樣的思路，對於\(d\)以前的後綴相對大小不會改變，以後的後綴只會變大

該算法中咱們僅需維護三個變量\(i, j, k\)

\(s[1..i - 1] = s_1 s_2 \dots s_g\)是固定下來的分解，也就是\(\forall l \in [1, g] s_l\)是Lyndon串且\(s_l > s_{l + 1}\)

\(s[i .. k - 1] = t_1 t_2 \dots t_h v(h > 1)\) 是沒有固定的分解，知足\(t_1\)是Lyndon串，且\(t_1 = t_2 = \dots = t_h\)，\(v\)是\(t_h\)的(可爲空的)真前綴，且有\(s_g > s[i .. k - 1]\)

當前讀入的字符是\(s[k]\)，令\(j = k - |t_1|\)

分三種狀況討論

• 當\(s[k] = s[j]\)時，週期\(k - j\)繼續保持

• 當\(s[k] > s[j]\)時，合併獲得\(t_1 <- t_1 t_2 \dots t_h v s[k]\)是Lyndon串

• 當\(s[k] < s[j]\)時，\(t_1, t_2, \dots, t_h\)的分解被固定下來，算法從\(v\)的開頭處從新開始

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = (1 << 21) + 1;
char s[MAXN];
int main() {
    scanf("%s", s + 1);
    int N = strlen(s + 1), j, k;
    for(int i = 1; i <= N;) {
        j = i; k = i + 1;
        while(k <= N && s[j] <= s[k]) {
            if(s[j] < s[k]) j = i;
            else j++;
            k++;
        }
        while(i <= j) {
            printf("%d ", i + k - j - 1);
            i += k - j;
        }
    }
    return 0;
}

參考資料

Lyndon word

金策—字符串選講