[搜索算法系列] —— 折半搜索

黃金問題

如今有n塊黃金，每塊黃金的質量爲w[i]，小明能夠一次性搬運質量不超過m的物體，問小明一次至多能運走多少質量的黃金？

對於該問題，閱讀過我以前講過的深度優先搜索應該不難寫出以下代碼。

def dfs(cur, total, status = set()):
    for i in range(cur, n):
        if total + w[i] > m:
            continue
        status.add(total + w[i])
        dfs(i+1, total + w[i])
    return status

對於w = [1,8,6]，m = 10的數據，能夠獲得status = {1,8,6,9,7}，也就是w可以組合出的不超過m的全部值，取其最大值即爲該問題的答案。

可是該解法的時間複雜度過高了，爲n!（這裏還與m值有關，要真有這麼大都別玩了），其實這裏能夠動態規劃，咱們如何應對更大n值的狀況？

對於規模爲10的狀況，其複雜度在400w，而對於規模爲5的狀況，其複雜度在100，也就是說若是咱們可以把一個規模爲10的問題分解成兩個規模爲5的問題，那麼時間複雜度只須要100 + 100 = 200。速度較以前提高了2萬倍。

那麼咱們如何經過兩個規模爲5的解得出規模爲10的解呢？

def solution(n, m, w):
    def dfs(cur, end, total = 0, status = set()):
        for i in range(cur, end):
            if total + w[i] > m:
                continue
            status.add(total + w[i])
            dfs(i+1, end, total + w[i])
        return status
    
    ans1 = sorted(list(dfs(0, n//2)))
    ans2 = sorted(list(dfs(n//2, n)))
    ans  = max(ans1)
    for i in ans2:
        t = binary_search_last_equal_or_lower(m-i, ans1)
        ans = max(ans, t+i)
    return ans

上述代碼中，咱們遍歷ans2列表，在ans1尋找最大的且與i相加不超過m的值（反過來也行），並在遍歷的過程當中動態更新ans的值，遍歷結束，ans即咱們想要的答案。

對於最終的ans，有以下三種可能。

1. ans1[i] + ans2[j]
2. max(ans1)
3. max(ans2)

其中狀況1在遍歷時完成，狀況2在ans賦初值時完成，狀況3在ans1沒有值能夠與m-i結對時完成（這時候二分查找返回0值）。

本文示例題目與acwing 171.送禮物一致，讀者可自行嘗試提交，驗證本身代碼的正確性。