RSA算法解析

　　RSA是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的算法。它易於理解和操做，也很流行。算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能獲得理論上的證實。它經歷了各類攻擊，至今未被徹底攻破。

　　它是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的算法。它易於理解和操做，也很流行。算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能獲得理論上的證實。它經歷了各類攻擊，至今未被徹底攻破。 

1、RSA算法 : 

　　首先, 找出三個數, p, q, r, 其中 p, q 是兩個相異的質數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質的數…… p, q, r 這三個數即是 private key 

　　接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)….. 這個 m 必定存在, 由於 r 與 (p-1)(q-1) 互質, 用展轉相除法就能夠獲得了….. 再來, 計算 n = pq……. m, n 這兩個數即是 public key 

　　編碼過程是, 若資料爲 a, 將其當作是一個大整數, 假設 a < n.... 若是 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進位 (s <= n, 一般取 s = 2^t), 則每一位數均小於 n, 然後分段編碼…… 接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 <= b < n), b 就是編碼後的資料…… 

　　解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq), 於是乎, 解碼完畢…… 等會會證實 c 和 a 實際上是相等的 

　　若是第三者進行竊聽時, 他會獲得幾個數: m, n(=pq), b…… 他若是要解碼的話, 必須想辦法獲得 r……因此, 他必須先對 n 做質因數分解……… 要防止他分解, 最有效的方法是找兩個很是的大質數 p, q, 使第三者做因數分解時發生困難……… 

<定理> 
若 p, q 是相異質數, rm == 1 mod (p-1)(q-1), a 是任意一個正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 則 c == a mod pq 

　　證實的過程, 會用到費馬小定理, 敘述以下: 
m 是任一質數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m (換另外一句話說, 若是 n 和 m 互質, 則 n^(m-1) == 1 mod m) 運用一些基本的羣論的知識, 就能夠很容易地證出費馬小定理的…….. 

<證實> 
由於 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 因此 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數 由於在 modulo 中是 preserve 乘法的 (x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z), 因此, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq 

1. 若是 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時, 
則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p 
a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 
因此 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq 
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq 

2. 若是 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時, 
則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) 
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q 
=> q | c - a 
因 p | a 
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p 
=> p | c - a 
因此, pq | c - a => c == a mod pq 

3. 若是 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時, 證實同上 

4. 若是 a 同時是 p 和 q 的倍數時, 
則 pq | a 
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq 
=> pq | c - a 
=> c == a mod pq 
Q.E.D. 

　　這個定理說明 a 通過編碼爲 b 再通過解碼爲 c 時, a == c mod n (n = pq)…. 但咱們在作編碼解碼時, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, 因此這就是說 a 等於 c, 因此這個過程確實能作到編碼解碼的功能….. 

2、RSA 的安全性 

　　RSA的安全性依賴於大數分解，可是否等同於大數分解一直未能獲得理論上的證實，由於沒有證實破解 RSA就必定須要做大數分解。假設存在一種無須分解大數的算法，那它確定能夠修改爲爲大數分解算法。目前， RSA 的一些變種算法已被證實等價於大數分解。無論怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。如今，人們已能分解多個十進制位的大素數。所以，模數n 必須選大一些，因具體適用狀況而定。 

3、RSA的速度 

　　因爲進行的都是大數計算，使得RSA最快的狀況也比DES慢上倍，不管是軟件仍是硬件實現。速度一直是RSA的缺陷。通常來講只用於少許數據加密。 

4、RSA的選擇密文攻擊 

　　RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。通常攻擊者是將某一信息做一下假裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。而後，通過計算就可獲得它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構： 

( XM )^d = X^d *M^d mod n 

　　前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵–每一個人都能使用公鑰。但從算法上沒法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議，保證工做過程當中實體不對其餘實體任意產生的信息解密，不對本身一無所知的信息簽名；另外一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用One-Way HashFunction 對文檔做HASH處理，或同時使用不一樣的簽名算法。在中提到了幾種不一樣類型的攻擊方法。 

5、RSA的公共模數攻擊 

　　若系統中共有一個模數，只是不一樣的人擁有不一樣的e和d，系統將是危險的。最廣泛的狀況是同一信息用不一樣的公鑰加密，這些公鑰共模並且互質，那末該信息無需私鑰就可獲得恢復。設P爲信息明文，兩個加密密鑰爲e1和e2，公共模數是n，則： 

C1 = P^e1 mod n 

C2 = P^e2 mod n 

密碼分析者知道n、e一、e二、C1和C2，就能獲得P。 

由於e1和e2互質，故用Euclidean算法能找到r和s，知足： 

r * e1 + s * e2 = 1 

假設r爲負數，需再用Euclidean算法計算C1^(-1)，則 

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n 

　　另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，若是知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e’和d’，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。 

　　RSA的小指數攻擊。 有一種提升 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有所提升。但這樣做是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。 

　　RSA算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的算法，也易於理解和操做。RSA是被研究得最普遍的公鑰算法，從提出到如今已近二十年，經歷了各類攻擊的考驗，逐漸爲人們接受，廣泛認爲是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並無從理論上證實破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是沒法從理論上把握它的保密性能如何，並且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點主要有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，於是難以作到一次一密。B)分組長度太大，爲保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤爲是速度較慢，較對稱密碼算法慢幾個數量級；且隨着大數分解技術的發展，這個長度還在增長，不利於數據格式的標準化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )協議中要求CA採用比特長的密鑰，其餘實體使用比特的密鑰。

 

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