青蛙的約會 拓展歐幾里得 +模板

　　

題目描述

兩隻青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，因而以爲頗有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，因而它們約定各自朝西跳，直到碰面爲止。但是它們出發以前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特徵，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們以爲只要一直朝着某個方向跳下去，總能碰到對方的。可是除非這兩隻青蛙在同一時間跳到同一點上，否則是永遠都不可能碰面的。爲了幫助這兩隻樂觀的青蛙，你被要求寫一個程序來判斷這兩隻青蛙是否可以碰面，會在何時碰面。

咱們把這兩隻青蛙分別叫作青蛙A和青蛙B，而且規定緯度線上東經0度處爲原點，由東往西爲正方向，單位長度1米，這樣咱們就獲得了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點座標是x，青蛙B的出發點座標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩隻青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。如今要你求出它們跳了幾回之後纔會碰面。

輸入輸出格式

輸入格式：

 

輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

 

輸出格式：

 

輸出碰面所須要的天數，若是永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"。

 

1.兩隻青蛙相遇，會有[(x-y)+k(m-n)]%l=0;(k表示跳的次數)。【方程來源】

2.將(x-y)記爲A,(m-n)記爲B,即(A+kB)%l=0,(A+kB)對l取餘等於零能夠等價爲(A+kB)減去y個l等於零，即(A+kB)-yl=0，移項得kB-yl=-A。【方程】

3.將k換爲x，獲得xB-yl=A(因爲將-A變成了A，在開始賦值時若B=m-n，A就爲y-x，若B=n-m，A就爲x-y)，而後判斷是否有解：令d爲B與l的最大公約數gcd(B,l);方程兩邊同時除以d，獲得

了xB/d-yl/d=A/d,因爲d=gcd(B,l),因此B/d、l/d爲整數，而後x、-y也是整數，因此方程成立的條件就是A/d也爲整數。【證實方程成立】

4.這個方程就是擴展歐幾里得exgcd(B,l,x,y)（忽略y前的負號），這樣能夠解出x，此時的x不是最優解，還要轉換，即((x*(A/d))%(l/d)+(l/d))%(l/d)【求最小解的式子，不理解先背下來】。

代碼（c++）【部分表示與解釋中不一樣，也不要緊，注意一下就行了】

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//input by bxd
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define repp(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define RI(n) scanf("%d",&(n))
#define RII(n,m) scanf("%d%d",&n,&m)
#define RIII(n,m,k) scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)
#define RS(s) scanf("%s",s);
#define ll long long
#define pb push_back
#define CLR(A,v)  memset(A,v,sizeof A)
//////////////////////////////////
#define inf 0x3f3f3f3f
const int N=100+5;

ll x,y,m,n,l,ans;
int exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;return a;
    }
    ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll cnt=x;
    x=y;
    y=cnt-a/b*y;
    return ans;
}

int main()
{
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    ll a=x-y,b=n-m;
    if(b<0){a=-a;b=-b;}

    exgcd(b,l,x,y);

    if(a%ans)
        cout<<"Impossible";
    else
        cout<<((x*(a/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans);


    return 0;
}

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