洛谷P1516 青蛙的約會（擴展歐幾里德）

洛谷題目傳送門

很容易想到，若是他們相遇，他們初始的位置座標之差\(x-y\)和跳的距離\((n-m)t\)（設\(t\)爲跳的次數）之差應該是模緯線長\(l\)同餘的，即\((n-m)t\equiv x-y(\bmod l)\)

轉化一下，不就變成了讓咱們求一個不定方程\((n-m)t+kl=x-y(k\in \mathbb Z)\)中\(t\)的最小非負整數解麼？

設\(a=n-m,b=l,c=x-y\)，把它轉化成咱們比較熟悉的通常不定方程的形式\(ax+by=c\)（此式的\(x,y\)與題目給的座標意義不一樣）

首先，設\(g=\gcd(a,b)\)咱們能夠經過擴歐求出\(ax_0+by_0=g\)中\(x_0\)的一個解

這時，由於\(\frac{ax+by}g\)爲整數，因此\(\frac c g\)也必須是整數，不然無解

不然，等式兩邊同乘\(\frac cg\)，得\(a\frac{cx_0}g+b\frac{cy_0}{g}=c\)

那麼，\(x=\frac{cx_0}g\)就是\(ax+by=c\)中\(x\)的一個解

如何由一個解獲得其它解呢？有一個恆等式\(a(x+db)+b(y-da)=c\)

在保證\(db,da\)都是整數的狀況下，咱們讓\(d\)最小，就能夠獲得全部的整數解，那麼\(d=\frac 1g\)

若是解出的\(x>0\)，那麼最小非負整數解等於\(x\bmod\frac b g\)；不然等於\(x\bmod\frac b g+\frac b g\)

代碼就能夠直接寫(x%(b/g)+b/g)%(b/g)

而後就能夠交上去了，發現得到了70分

怎麼回事？由於\(\gcd\)只對非負整數有意義，因此若是\(a<0\)等式兩邊要同時取負，\(a,c\)都要變成相反數；\(b\)原本就是正數，不用變也不能變。

總之，雖然是裸的exgcd題，可是很容易被細節實現坑到，尤爲是求最小非負整數解和處理\(a\)爲負數的地方。

#include<cstdio>
#define LL long long
LL x,y,m,n,l,a,b,c,x0,y0,g,tmp;
void exgcd(LL a,LL b){
    if(!b){x0=1;g=a;return;}//順便求gcd
    exgcd(b,a%b);
    tmp=x0;x0=y0;y0=tmp-a/b*y0;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    a=n-m;b=l;c=x-y;
    if(a<0)a=-a,c=-c;//處理a爲負數狀況
    exgcd(a,b);
    if(c%g)puts("Impossible");
    else printf("%lld\n",(c/g*x0%(b/g)+b/g)%(b/g));//求最小非負整數解
    return 0;
}